题目大意:
个矩阵相乘,求进行乘法的最少次数,我们认为两个矩阵
的乘法次数为
次。
3
50 10
10 20
20 5
3500
思路:
考试时这道题是第一题,推了半天没搞懂,样例也看不懂。总以为正确答案是
。
但是并不是这样的。
我们设第
到
行的输入数据为
和
,那么我们必须先证明
证明:
根据矩阵乘法的性质,矩阵A*矩阵B 不等于 矩阵B*矩阵A,那么我们能确定,A*B*C不等于A*C*B,
那么题目又说输入确保能够相乘,所以b[i]=a[i+1]。
证毕。
那么再根据 ,所以我们可以利用矩阵乘法可以用乘法结合律的特点,将 变成 ,两两相乘,就可以求出正确答案。
那么如何求最小值呢?
有两种方法求最小值,分别指区间DP和记搜,这里就介绍DP的方法。
可以用 表示矩阵 到矩阵 都被合并的最小值,再从 到 中枚举 ,将矩阵分为两边(类似 思想, 到 最短路就枚举其他点 , ),再加上题目给出的 要乘 次,即 ( ,已经证过,所以也可以是 )。完整方程如下:
f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*b[j]);
即
f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+a[i]*b[k]*b[j]);
那么 , , 分别该怎么枚举呢?
不难想到,由于是矩阵 到矩阵 ,所以必然有 ,所以 就要从2枚举到 。(1不能枚举,因为如果枚举了1, 就 0,明显不成立)。那么根据 ,也可以推出 要从 枚举到1。这里必须要倒着枚举,如果从1开始枚举的话, 里面没有任何一个区间求出最小值,就无法转移。那么 就很简单了,如上文所述,有 < ,所以k自然就在 到 中枚举了。
那么还有最后一个问题:怎么初始化?
由于要求最小值,所以很容易想到要讲 数组全部赋值为 ,但是。。。
f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*b[j]);
设 ,再带入方程,发现。。。
f[i][j]=min(INF,INF+INF+m)
即
f[i][j]=min(INF,INF)
即
f[i][j]=INF
怎么回事?
再仔细想一想, 这个矩阵的值不可能是 ,因为它是它本身,所以 。
那么当 , 时,
f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*b[j]);
即
f[i][j]=min(INF,f[i][i]+f[i+1][j]+m);
即
f[i][j]=min(INF,f[i][i]+f[j][j]+m);
即
f[i][j]=min(INF,0+0+m);
即
f[i][j]=min(INF,m);
即
f[i][j]=m;
所以答案也出来了:从矩阵1乘到矩阵 ,即 。
代码:
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int inf=99999999;
int n,a[1001],b[1001],f[601][601];
int main()
{
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
for (int i=1;i<=600;i++)
for (int j=1;j<=600;j++) //初始化
if (i!=j) f[i][j]=inf;
for (int j=2;j<=n;j++)
for (int i=j-1;i>=1;i--)
for (int k=i;k<j;k++)
f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*b[j]); //方程不解释
printf("%d\n",f[1][n]);
return 0;
}