『算法』general

• 1. 算法
• 2. 可以解决哪些类型的问题
• 3. 算法分析
• 4. 算法设计
  
  • 4.1. 分治 (divide and conquer)
• 5. 递归式
  
  • 5.1. 代换法
    
    • 5.1.1. 步骤
    • 5.1.2. 例子
    • 5.1.3. 放缩
    • 5.1.4. 改变变量
  • 5.2. 递归树
  • 5.3. 主方法 (master method)
    
    • 5.3.1. 记忆
    • 5.3.2. 证明
      
      • 5.3.2.1. 证明当 n 为 b 的正合幂时成立
      • 5.3.2.2. 分析扩展至所有正整数 n 都成立
• 6. 随机算法
  
  • 6.1. 随机排列数组 (shuffle)
    
    • 6.1.1. PERMUTE-BY-SORTING
    • 6.1.2. RANDOMIZE-IN-PLACE
• 7. 组合方程的近似算法
• 8. 概率分析与指示器变量例子
  
  • 8.1. 球与盒子
  • 8.2. 序列

1. 算法

定义良好的计算过程, 取输入, 并产生输出. 即算法是一系列的计算步骤, 将输入数据转化为输出结果

2. 可以解决哪些类型的问题

• 大数据的存储, 以及开发出进行这方面数据分析的工具
• 网络数据的传输, 寻路, 搜索
• 电子商务密码, (数值算法, 数论)
• 资源分配, 最大效益
• …

3. 算法分析

衡量算法的优劣

• $\omicron,O,\Omega,\Theta$
• 最坏情况, 平均情况
• 增长的量级 $O(1),O(logn), O(n), O(n^k), O(a^n)$

4. 算法设计

4.1. 分治 (divide and conquer)

结构上是递归的,
步骤: 分解, 解决, 合并
eg 快排, 归并排序

5. 递归式

$T(n) = aT(\frac{n} {b})+f(n)$

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5.1. 代换法

5.1.1. 步骤

• 猜测解的形式
• 用数学归纳法找出常数
  

5.1.2. 例子

$T(n) = 2T(\frac{n} {2})+n$
猜测 $T(n) = O(nlogn)$
证明 $T(n)\leqslant cnlogn$
归纳奠基 n=2,3
归纳假设 $T(\frac{n} {2}) \leqslant \frac{cn}{2}$
递归

$$T(n) \leqslant 2c\frac{n}{2}log(\frac{n}{2}) + n \leqslant cnlog(\frac{n}{2}) + n = cnlogn=cnlog2 + n \leqslant cnlogn$$

5.1.3. 放缩

对于 $T(n) = 2T(\frac{cn}{2}) + 1$
如果 直接猜测 $T(n) = O (n)$ 不能证明,
而且不要猜测更高的界 $O (n^2)$
可以放缩为 n-b

5.1.4. 改变变量

对于 $T(n) = 2T(\sqrt{n})+logn$
可以 令 m = logn, 得到
$T(2^m) = 2T(m^{\frac{m}{2}}) + m$
令 $S(m) = T(2^m)$
得到 $S(m) = 2S(\frac{m}{2}) + m$

5.2. 递归树

例如 $T(n) = 3T(\frac{n}{4}) + c n^2$
不妨假设 n 为 4 的幂, 则有如下递归树

每个结点是代价, 将每层加起来即可

5.3. 主方法 (master method)

对于 $T(n) = aT(\frac{n} {b})+f(n)$

$$T(n)=\begin{cases} \Theta(n^{log_b a}),\quad f(n)=O(n^{ {log_b a}-\epsilon}) \\ \Theta(n^{log_b a}logn),\quad f(n)=\Theta(n^{log_b a}) \\ \Theta(f(n)),\quad f(n)=Omega(n^{ {log_b a}+ \epsilon}), \text{且对常数}c<1,\text{任意大的 n, 有}\ af(\frac{n}{b})\leqslant cf(n) \\ unknown, \quad others \end{cases}$$

5.3.1. 记忆

直观上, 比较 $n^{log_b a}$ 和 $f(n)$, 谁大就是谁,
这里的大是多项式上的比较, 即比较次数, 而不是渐近上的
比如 $n$ 与 $nlogn$ 渐近上后者大, 但多项式上是不能比较的

5.3.2. 证明

5.3.2.1. 证明当 n 为 b 的正合幂时成立

• 用递归树可以得到 总代价为 $\sum_{j=0}^{log_b n-1} a^j f(\frac{n}{b^j})$
• 决定上式的渐近界
• 结合前两点

5.3.2.2. 分析扩展至所有正整数 n 都成立

主要是应用数学技巧来解决 floor, ceiling 函数的处理问题

6. 随机算法

6.1. 随机排列数组 (shuffle)

6.1.1. PERMUTE-BY-SORTING

给出初始数组, eg A={1,2,3}, 选择随机的优先级 P={16,4,10}
则得出 B={2,3,1}, 因为第二个 (2) 优先级最小, 为 4, 接着第三个, 最后第 1 个.
优先级数组的产生, 一般在 RANDOM(1,n^3), 这样优先级各不相同的概率至少为 1-1/n

由于要排序优先级数组, 所以时间复杂度 $O(nlogn)$

如果优先级唯一, 则此算法可以 shuffle 数组
应证明 同样排列的概率是 $\frac{1}{n!}$

6.1.2. RANDOMIZE-IN-PLACE

# arr: array to be shuffled
n = len(arr)
for i in range(n):
    swap(arr[i],arr[random(i,n-1)])

时间复杂度 $O(n)$
证明
定义循环不变式: 对每个可能的 $A_n^{i-1}$ 排列, 其在 arr[1..i-1] 中的概率为 $\frac{1}{A_n^{i-1}}$
初始化: i=1 成立
保持 : 假设 在第 i-1 次迭代之前, 成立, 证明在第 i 次迭代之后, 仍然成立,
终止: 在 结束后, i=n+1, 得到 概率为 $\frac{1}{n!}$

7. 组合方程的近似算法

• Stiring ‘s approximation: $n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$
• 对于 $C_n^x=a$, 有 $x=\frac{ln^2 a}{n}$
• 对于 $C_x^n=a$, 有 $x=(a*n!)^{\frac{1}{n}}+\frac{n}{2}$

8. 概率分析与指示器变量例子

8.1. 球与盒子

把相同的秋随机投到 b 个盒子里, 问在每个盒子里至少有一个球之前, 平均至少要投多少个球?
称投入一个空盒为击中, 即求取得 b 次击中的概率
设投 n 次, 称第 i 个阶段包括第 i-1 次击中到 第 i 次击中的球, 则 $p_i=\frac{b-i+1}{b}$
用 $n_i$ 表示第 i 阶段的投球数, 则 $n=\sum_{i=1}^b n_i$
且 $n_i$ 服从几何分布, $E(n_i)=\frac{b}{b-i+1}$,
则由期望的线性性,

$$E(n)=E(\sum_{i=1}^b n_i)=\sum_{i=1}^b E(n_i)=\sum_{i=1}^b \frac{b}{b-i+1}=b\sum_{i=1}^b \frac{1}{i}=b(lnb+O(1))$$
这个问题又被称为 赠券收集者问题 (coupon collector’s problem), 即集齐 b 种不同的赠券, 在随机情况下平均需要买 blnb 张

8.2. 序列

抛 n 次硬币, 期望看到的连续正面的次数
答案是 $\Theta(logn)$
记 长度至少为 k 的正面序列开始与第 i 次抛, 由于独立, 所有 k 次抛掷都是正面的 概率为
$P(A_{ik})=\frac{1}{2^k}$, 对于 $k=2\lceil lgn\rceil$