关于sg函数异或和转移的证明

学过博弈论的都知道，当多个博弈同时进行（比如尼姆博弈）时，我们通过将其各个博弈状态的$sg$值求个异或和以确定其输赢情况，其中我们发现：
1.当异或和为$0$的时候，我们怎么转移，异或和都不为$0$
2.当异或和不为$0$的时候，我们一定至少一种转移方法可以使得异或和为$0$

也是基于这两个结论，我们才能通过求异或和的方式确定输赢。

那么如何证明这两个结论呢？

证明1：
已知$n$个数异或和为$0$
证明无论如何转移，异或和都不为$0$

反证法
假设我们可以转移到异或和为$0$的状态
设我们所改变的其中一个状态的$sg$值为$k$，改变之后的状态的$sg$值为$k'$，其余所有的状态的$sg$值异或和为$t$
由于当前异或和为0可知
$k$^$t=0$
由于状态改变之后$k$变成了$k'$，我们可以转化为原来的异或和先异或一个$k$再异或一个$k'$，且异或和仍然为0
即$k$^$t$^$k$^$k'=0$
即$k$^$k'=0$
即$k=k'$
显然不符合$sg$函数的性质
所以假设不成立
所以异或和为0的状态一定只能转移成异或和不为0的状态。

证明2:
已知当前异或和不为$0$
证明一定有一种转移可以使异或和为$0$

设当前异或和为$k$
设k的二进制中第$a1,a2……an$位为1（其中$a1>a2>……>an$）
当前的所有博弈状态一定可以找到一个状态的$sg$值的第$a1$位为$1$
设这个状态为$J$，$J$的$sg$值为$R$
将$R$的$a1,a2……an$位取反，得到一个数$P$
因为$R$的第$a1$位为$1$，$P$的第$a1$位为$0$
所以$P<R$
根据$sg$函数的性质，$sg$值为$P$的状态$J$一定可以转移到$sg$值为$P$比他小的状态
而当异或和中的一项$R$变为$P$之后，异或和变为$0$
所以异或和不为$0$的状态一定可以转移到异或和为$0$的状态

证毕
（因为不熟悉markdown语法，写得有点繁琐，以后有空改一下）