斐波那契数列（矩阵加速递推）

题目背景

大家都知道，斐波那契数列是满足如下性质的一个数列：

• f(1) = 1

• f(2) = 1

• f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 2 且 n 为整数)

题目描述

请你求出 f(n) mod 1000000007 的值。

输入输出格式

输入格式：

·第 1 行：一个整数 n

输出格式：

第 1 行： f(n) mod 1000000007 的值

（n<=1e18）

思路：

我们已经知道递推公式了，但有个问题，就是n太大

怎么办呢？

我前面写过一个矩阵快速幂的板子，大家应该看过。

那么，这里我们就要用矩阵快速幂来优化

我们将原数列抽象为这样的一个矩阵：

{  fn  , 0 }

{fn-1，0}

那么，我们将原矩阵乘上这样的一个矩阵：
{1,1}

{1,0}

就变成了这样：

{fn+fn-1，0}

{    fn    ，0}

整个矩阵向着斐波那契的下一项方向移动

OK，现在我们就不用O（n）地移动了，O（logn）即可

（关于矩阵快速幂部分，请参见我以前的一篇博客（上面有链接））

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define rii register int i
#define rij register int j
#define rik register int k
#define mod 1000000007
using namespace std;
struct j{
    long long jz[5][5];
}x,y,z,an;
long long n;
long long ys[5];
inline j cheng(j l,j r)
{
    j ltt;
    long long ans=0;
    ltt.jz[1][1]=0;
    ltt.jz[1][2]=0;
    ltt.jz[2][1]=0;
    ltt.jz[2][2]=0;
    for(rii=1;i<=2;i++)
    {
        for(rij=1;j<=2;j++)
        {
            ans=0;
            for(rik=1;k<=2;k++)
            {
                ans+=(l.jz[i][k]*r.jz[k][j]);
                ans%=mod;
            }
            ltt.jz[i][j]=ans;
        }
    }
    return ltt;
}
j pw(j k,long long c)
{
    if(c==1)
    {
        y=cheng(y,k);
        return y;
    }
    if(c%2==0)
    {
        k=cheng(k,k);
        pw(k,c/2);
    }
    else
    {
        c--;
        y=cheng(k,y); 
        pw(k,c);
    }
}
int main()
{
    x.jz[1][1]=1;
    x.jz[1][2]=1;
    x.jz[2][1]=1;
    y.jz[1][1]=1;
    y.jz[2][2]=1;
    an.jz[1][1]=1;
    an.jz[2][1]=1;
    scanf("%lld",&n);
    if(n==1)
    {
        cout<<1;
        return 0;
    }
    if(n==2)
    {
        cout<<"1";
        return 0;
    }
    pw(x,n-2);
    an=cheng(y,an);
    cout<<an.jz[1][1];
}