Luogu4366[CodePlus#4] 最短路

原题链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4366

最短路

题目背景

在北纬 91° ，有一个神奇的国度，叫做企鹅国。这里的企鹅也有自己发达的文明，称为企鹅文明。因为企鹅只有黑白两种颜色，所以他们的数学也是以二进制为基础发展的。

比如早在 $11101001$ 年前，他们就有了异或这样一个数学概念。如果你不知道异或是什么，请出门过墙左转到这里。

再比如早在 $1000010$ 年前，他们的大科学家 Penguin. Tu 就提出了图和最短路径这样一些概念。

题目描述

企鹅国中有 $N$ 座城市，编号从 $1$ 到 $N$ 。

对于任意的两座城市 $i$ 和 $j$ ，企鹅们可以花费 $(i~\mathrm{xor}~j) \times C$ 的时间从城市 $i$ 走到城市 $j$ ，这里 $C$ 为一个给定的常数。

当然除此之外还有 $M$ 条单向的快捷通道，第 $i$ 条快捷通道从第 $F_i$ 个城市通向第 $T_i$ 个城市，走这条通道需要消耗 $V_i$ 的时间。

现在来自 P enguin K ingdom U niversity 的企鹅豆豆正在考虑从城市 $A$ 前往城市 $B$ 最少需要多少时间？

输入输出格式

输入格式：

从标准输入读入数据。

输入第一行包含三个整数 $N,M,C$ ，表示企鹅国城市的个数、快捷通道的个数以及题面中提到的给定的常数 $C$ 。

接下来的 $M$ 行，每行三个正整数 $F_i,T_i,V_i ( 1 \leq F_i \leq N),1 \leq T_i \leq N ,1\leq V_i \leq 100 )$ ，分别表示对应通道的起点城市标号、终点城市标号和通过这条通道需要消耗的时间。

最后一行两个正整数 $A,B (1 \leq C \leq 100)$ ，表示企鹅豆豆选择的起点城市标号和终点城市标号。

输出格式：

输出到标准输出。

输出一行一个整数，表示从城市 AA 前往城市 BB 需要的最少时间。

输入输出样例

输入样例#1：

4 2 1
1 3 1
2 4 4
1 4

输出样例#1：

输入样例#2：

7 2 10
1 3 1
2 4 4
3 6

输出样例#2：

说明

样例1解释

直接从 $1$ 走到 $4$ 就好了。

样例2解释

先从 $3$ 走到 $2$ ，再从 $2$ 通过通道到达 $4$ ，再从 $4$ 走到 $6$ 。

活泼可爱的出题人给大家留下了下面这张图。

Credit: https://www.luogu.org/discuss/show/38908

题解

~~凯老师洗澡时想出来的题。。。~~

暴力建图 $O(n^2)$ ，考虑如何优化建图：

点之间的编号变换可以看做二进制位上的逐步变换，所以我们将原来一条边从 $i$ 练到 $j$ 变成 $i$ 分别向 $2^0,2^1,2^2,...$ 分别连边，这样每个点向外连 $log_2n$ 条边，就能表示所有转移，愉快 $AC$ 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=3e5+5;
struct sd{int to,len;};
bool operator <(sd a,sd b){return a.len>b.len;}
int s,t,mx,n,m,k,dis[M];
vector<sd>mmp[M];
priority_queue<sd>dui;
void in()
{
    int a,b,c;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1;i<=m;++i)scanf("%d%d%d",&a,&b,&c),mmp[a].push_back((sd){b,c});
    scanf("%d%d",&s,&t);
}
void build()
{
    for(mx=1;mx<n;mx<<=1);
    for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=mx;j<<=1)mmp[i].push_back((sd){i^j,j*k}),mmp[i^j].push_back((sd){i,j*k});
}
void dijkstra()
{
    memset(dis,63,sizeof(dis));dis[s]=0;
    dui.push((sd){s,0});sd f,t;
    while(!dui.empty())
    {
        f=dui.top();dui.pop();
        for(int i=mmp[f.to].size()-1;i>=0;--i)
        {
            t=mmp[f.to][i];
            if(dis[t.to]>dis[f.to]+t.len)dis[t.to]=dis[f.to]+t.len,dui.push((sd){t.to,dis[t.to]});
        }
    }
}
void ac(){build();dijkstra();printf("%d",dis[t]);}
int main(){in();ac();}