中国剩余定理:
大概就是有这么一个问题:
保证 之间都互质,然后让你求 。古人给了我们一种巧妙的方法,那就是构造答案,如果我们能够求出分别满足每一个方程的 ,即 (用拓展欧几里得来求解),并且保证这个 是其他所有的模数的倍数的话,那么我们只要把这 个 相加就好了,这时我们会发现,正是因为 之间互质,才可以使得这个巧妙的构造方法得以实现。
拓展中国剩余定理:
但是题目有时候并不是保证
互质的,所以我们要用拓展中国剩余定理。虽然说和中国剩余完全不同,但是还是叫了这个名字。这里采用合并同余方程的方法来求解。原式可以做如下变形:
其中 可以看做是两个变量,然后为了让 满足条件,我们来寻找 之间的关系:
这个时候我们得到的 的关系同时也得到的 的表达式,将它带入原方程中得:
然后就合并完了,接下来就只要一直合并下去就好了。
/*===========================
* Auhthor : ylsoi
* Problem : luogu4777
* Algodithm : ExCRT
* Time : 2018.7.22
* =========================*/
#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
typedef long long ll;
using namespace std;
void File(){
freopen("luogu4777.in","r",stdin);
freopen("luogu4777.out","w",stdout);
}
const int maxm=1e5+10;
int T,n,m;
ll p[maxm],c[maxm];
ll qmul(ll x,ll b,ll mod){
ll ret=0,base=x%mod,mul=1;
if(b<0)b*=-1,mul=-1;
while(b){
if(b&1)ret=(ret+base)%mod;
base=(base+base)%mod;
b>>=1;
}
return ret*mul;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(!b){x=1; y=0; return a;}
ll d=exgcd(b,a%b,x,y),tmp=x;
x=y; y=tmp-a/b*y;
return d;
}
ll get_inv(ll a,ll b){
ll x,y;
x/=exgcd(a,-b,x,y);
return (x%b+b)%b;
}
void work(){
REP(i,2,m){
ll d=__gcd(p[1],p[i]),tmp=p[1];
p[1]=p[1]/d*p[i];
c[1]=qmul(qmul(tmp,(c[i]-c[1])/d,p[1]),get_inv(tmp/d,p[i]/d),p[1])+c[1];
c[1]%=p[1];
}
c[1]=(c[1]+p[1])%p[1];
printf("%lld\n",c[1]);
}
int main(){
File();
scanf("%d",&m);
REP(i,1,m)scanf("%lld%lld",&p[i],&c[i]);
work();
return 0;
}