2-SAT算法学习笔记 大佬们的博客 Some Links

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2-SAT：

好像大概是这么一个东西，有一些集合，每个集合中有两个元素$(a_i,b_i)$，然后要求你从每一个集合中选出一个元素，但是同时对于集合元素的选取是有一些限制的，比如说什么选了$a_i$和$a_j$必须选一个，或者选了$a_i$就必须选$b_j$之类的。
然后我们发现上面所有的限制条件都可以转化为一类，即选了$a_i$就必须选择$b_j$这种。
然后解决这种问题算法就是建立一个有向图，对于选$a_i$就必须选$b_j$这种限制，我们在图中从$a_i$连向$b_j$，同时我们发现如果选$a_j$也必须选$b_i$，所以在图中从$a_j$连向$b_i$。不难发现这个图有对称性。
对于这个有向图，如果从$a_i$可以到达$b_i$，那么$a_i$一定是不可以选的，那么根据有向图的传递性以及这个图本身的对称性，那么我们发现只有当$a_i$和$b_i$在同一强连通分量中是才有可能是无解的。
于是我们可以把图建出来之后缩强连通分量，然后判断一下有没有无解的情况，如果有解的话就直接按照拓扑序的逆序选择每个集合内的元素。
洛谷模板：

#include<bits/stdc++.h>

#define REP(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
typedef long long ll;

using namespace std;

void File(){
    freopen("luogu4782.in","r",stdin);
    freopen("luogu4782.out","w",stdout);
}

template<typename T>void read(T &_){
    T __=0,mul=1; char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(mul=='-')mul=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))__=(__<<1)+(__<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
    _=__*mul;
}

const int maxn=1e6+10;
int n,m;
int beg[maxn<<1],to[maxn<<1],las[maxn<<1],cnte=1;
int bel[maxn<<1],cnt_scc,low[maxn<<1],dfn[maxn<<1],cnt_dfn;
stack<int>stk;

void add(int u,int v){las[++cnte]=beg[u];beg[u]=cnte;to[cnte]=v;}

void tarjan(int u){
    low[u]=dfn[u]=++cnt_dfn;
    stk.push(u);
    for(int i=beg[u];i;i=las[i]){
        if(!dfn[to[i]]){
            tarjan(to[i]);
            low[u]=min(low[u],low[to[i]]);
        }
        else if(!bel[to[i]])low[u]=min(low[u],dfn[to[i]]);
    }
    if(dfn[u]==low[u]){
        ++cnt_scc;
        for(int p;p!=u;stk.pop()){
            p=stk.top();
            bel[p]=cnt_scc;
        }
    }
}

void init(){
    read(n); read(m);
    int x,y,t1,t2;
    REP(i,1,m){
        read(x); read(t1); read(y); read(t2);
        add(x+(1-t1)*n,y+t2*n);
        add(y+(1-t2)*n,x+t1*n);
    }
}

void work(){
    REP(i,1,(n<<1))if(!dfn[i])
        tarjan(i);
    REP(i,1,n)if(bel[i]==bel[i+n]){
        puts("IMPOSSIBLE");
        return;
    }
    puts("POSSIBLE");
    REP(i,1,n){
        if(bel[i]<bel[i+n])putchar('0');
        else putchar('1');
        putchar(' ');
    }
}

int main(){
    File();
    init();
    work();
    return 0;
}