[loj6062]「2017 山东一轮集训 Day2」Pair——Hall定理+线段树 大佬们的博客 Some Links

题目大意：

给出一个长度为$n$的数列$\{ a_i \}$和一个长度为$m$的数列$\{ b_i \}$求$\{ a_i \}$有多少个长度为$m$的连续子数列能与$\{ b_i \}$匹配。
两个数列可以匹配，当且仅当存在一种方案，使两个数列中的数可以两两配对，两个数可以配对当且仅当它们的和不小于$h$。

思路：

感觉还是很好的一道题目。我是为了学Hall定理才找到这道题去做的。
首先我们来考虑如何判断两个串是否可以形成完美匹配，根据Hall定理可以得到，只有$a$的每一个子集和$b$相连的点数都大于这个子集本身的点数才具有完美匹配。显然枚举每一个子集是不现实的，但是我们发现$b$中和$a$相邻的点只取决于$a$中权值最大的点，设以$a_i$为最大权值的子集为$S_{a_i}$.，我们只需要判断$size(S)_b-size(S_{a_i})_\max$是否大于等于0即可。
但是这样还是不够好，把$b$从小到大排序之后，每一个$a_i$对应的$b$就是一段后缀，相当于覆盖了一条线段，满足上面的条件其实就是每一个$b_i$被覆盖的次数满足大于等于$i$，这样处理之后就很好用线段树来维护了。

/*===============================
 * Author : ylsoi
 * Problem : loj6062
 * Algorithm : Hall&Segment_Tree
 * Time : 2018.6.29
 * ===========================*/
#include<bits/stdc++.h>

#define REP(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
typedef long long ll;

using namespace std;

void File(){
    freopen("loj6062.in","r",stdin);
    freopen("loj6062.out","w",stdout);
}

const int maxn=1.5e5+10;
int n,m,h,a[maxn],b[maxn],ans;

struct Segment_Tree{
#define mid ((l+r)>>1)
#define lc rt<<1
#define rc rt<<1|1
#define lson lc,l,mid
#define rson rc,mid+1,r
    int Min[maxn<<2],tag[maxn<<2];
    void pushdown(int rt){
        Min[lc]+=tag[rt]; tag[lc]+=tag[rt];
        Min[rc]+=tag[rt]; tag[rc]+=tag[rt];
        tag[rt]=0;
    }
    void build(int rt,int l,int r){
        if(l==r)Min[rt]=-l;
        else{
            build(lson); build(rson);
            Min[rt]=min(Min[lc],Min[rc]);
        }
    }
    void modify(int rt,int l,int r,int L,int R,int x){
        if(L>R)return;
        if(L<=l && r<=R){Min[rt]+=x; tag[rt]+=x;}
        else{
            if(tag[rt])pushdown(rt);
            if(L<=mid)modify(lson,L,R,x);
            if(R>=mid+1)modify(rson,L,R,x);
            Min[rt]=min(Min[lc],Min[rc]);
        }
    }
}T;

void init(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&h);
    REP(i,1,m)scanf("%d",&b[i]);
    sort(b+1,b+m+1);
    REP(i,1,n){
        scanf("%d",&a[i]);
        a[i]=lower_bound(b+1,b+m+1,h-a[i])-b;
    }
    T.build(1,1,m);
    REP(i,1,m-1)T.modify(1,1,m,a[i],m,1);
}

int main(){
    File();
    init();
    REP(i,m,n){
        T.modify(1,1,m,a[i],m,1);
        ans+=(T.Min[1]>=0);
        T.modify(1,1,m,a[i-m+1],m,-1);
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}