数值分析知识点

111-112. 龙格库塔法

第9分钟开始。
应用最多得，且精度高。
Tylor展开法 可以构造出高阶数值方法，但是要涉及到计算$f(x,y)$的高阶导数，不方便。
龙格库塔法就是避免求高阶导数，的高阶数值方法。
基本思想：
转化为积分问题，而定积分使用待定的m点插值型求积公式构造，进而展开处理。
构造原理：

$$\int^{x_{k+1}}_{x_k}y'(x)dx=y(x_{k+1})-y(x_k)=\int^{x_{k+1}}_{x_k}f(x,y(x))dx$$
1.定积分使用 待定的m点插值型求积公式：
$$y(x_{k+1})=y(x_k)+\int^{x_{k+1}}_{x_k}f(x,y(x))dx\\ \approx y(x_k)+h\sum^m_{i=1} c_if(\xi_i,y(\xi_i)),\quad \xi_i\in[x_i,x_{i+1}]\\ $$
2.做 符号 和 近似 变化：
$$y_{k+1}=y_k+h\sum^m_{i=1}c_iK_i\\ K_1=f(x_k,y_k)\\ K_2=f(x_k+a_2h,y_k+hb_{21}K_1)\\ K_3=f(x_k+a_3h,y_k+h(b_{31}K_1+b_{32}K_2))\\ K_4=f(x_k+a_ih,y_k+h\sum^{i-1}_{j=1}b_{ij}K_j) \tag1$$

• 其中，$a_i,b_{ij},c_i$是待确定的参数，确定他们的原则就是：
  使近似公式(1)在$(x_k,y_k)$处的Tylor展开式 与 $y(x)$在$x_k$处的Tylor展开式前面的项尽可能多地重合。
  推导过程就是，对比两个展开式前面的系数，求解相应的参数。

已经证明，m=2，只能得到二阶公式，不论如何选取参数。
我们用到的四阶龙格库塔公式（m=4）：

$$y_{k+1}=y_k+\frac{h}{6}(K_1+2K_2+2K_3+K_4)\\ K_1=f(x_k,y_k)\\ K_2=f(x_k+\frac{h}{2},y_k+\frac{h}{2}K_1)\\ K_3=f(x_k+\frac{h}{2},y_k+\frac{h}{2}K_2)\\ K_4=f(x_k+h,y_k+hK_3)$$

105-106. 常微分方程初值问题 数值解法

1. 常微分方程的初值问题

微分方程（Differential equation，DE）是一种数学方程，用来描述某一类函数与其导数之间的关系。微分方程的解是一个符合方程的函数。
因此，解析方法求解的目的是 求函数 $y(x)$。

$$F(x,y,y',y'',\cdots)=0\\F(x,y,y')=0$$
考虑简单一些且有代表性的一类微分方程
$$y'(x)=f(x,y(x))$$
【注】： $x$ 是 $y$ 的自变量；特殊的一类自变量是时间 $t$。
解析方法的思路是先求通解，再求特解；
数值方法的思路是直接求 特解。
常用方法： 欧拉法、龙格库塔法、线性多步法。

举例：(单摆)振动问题

$$\ddot \theta+\frac{g}{t}sin\theta =0\\ \theta(0)=30^\circ,\quad \dot \theta(0)=0$$

给定了如上的微分方程，又给出了初值，来求其解的问题，叫微分方程的初值问题。
微分方程的初值问题的数值解法，是求$y(x)$的一些点上的值，之后再应用前边拟合的方法，找到$y(x)$的近似函数。

2. 建立数值解法的思路与方法

1.首先，进行离散化，化为差分方程。（微分方程本身是连续的）
方法是：再自变量区间$[a,b]$上插入一些点$x_i$，就离散化了。
步长：$h=x_{k+1}-x_k$
单步法：用到前面一个点，$y_0->y_1->\cdots->y_k$；
多步法：用到前面多个点；
求解下一个点，分为显格式、隐格式（需要通过方程求解）。
故有：单步-显；单步-隐；多步-显；多步-隐
数值积分法、数值微分法、Tylor展开法可以把导数去掉。
2.解差分方程，做 符号 和 近似 变化，得到 $y_k$

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• 数值微分法:
  1.可以替代导数得微分形式
  

  $$y'(x_k)=f(x_k,y(x_k))\\ \approx \frac{y(x_{k+1})-y(x_k)}{x_{k+1}-x_k}$$
  2.做 符号 和 近似 变化：
  $$\frac{y_{k+1}-y_k}{h}=f(x_k,y_k)$$
  即，得欧拉公式：(且为显式单步法)
  $$y_{k+1}=y_{k}+hf(x_k,y_k)$$

• 数值积分法：
  1.取积分，且用数值积分（最简单得梯形公式）代替积分
  

  $$\int^{x_{k+1}}_{x_k}y'(x)dx=\int^{x_{k+1}}_{x_k}f(x,y(x))dx\\=y(x_{k+1})-y(x_k) \approx \frac{h}{2}[f(x_{k},y(x_k))+f(x_{k+1},y(x_{k+1}))]$$
  2.做 符号 和 近似 变化：
  $$y_{k+1}-y_k= \frac{h}{2}[f(x_k,y_k)+f(x_{k+1},y_{k+1})]$$
  即得梯形公式（且为隐式单步法）
  $$y_{k+1}=y_k+ \frac{h}{2}[f(x_k,y_k)+f(x_{k+1},y_{k+1})]$$

往往最简单得东西最好用。

Tylor展开法：

$$y(x_{k+1})=y(x_k+h)=y(x_k)+hy'(x_k)+\frac{h^2}{2!}y''(x_k)+\cdots\\ =y(x_k)+hf(x_k,y(x_{k}))+\frac{h^2}{2!}\frac{d}{dx}[f(x,y(x))]|_{x=x_k}+\cdots$$
如果右端取一阶近似：就得到欧拉公式
$$y_{k+1}=y_k+hf(x_k,y_k)$$

3.数值解法得误差、阶、绝对稳定性

（补107-108-109）
以欧拉方法、改进得欧拉方法为例分析（110-111）