ACM暑期集训11

今天主要学习了KMP算法，trie树和AC自动机

1.KMP算法

KMP算法是用来解决字符串匹配问题，时间复杂度O(n+m) （其中n，m分别为长、短字符串的长度）

直接上模板，后面有注释

1）求fail数组

void getFail(int n) {					//n表示短字符串的长度
  int i = 0, j = -1;						//i表示短字符串当前位置，j表示当前位置之前的部分前缀和后缀相同的个数-1
	fail[0] = -1;							//fail数组表示当前位置匹配失败后从短字符串之前哪个位置继续匹配
	while(i < n) {
		if(j==-1 || temp[i]==temp[j])		//temp数组用来存储短字符串
		{
			++i, ++j;
			if(temp[i] != temp[j]) fail[i] = j;
			else fail[i] = fail[j];
		}
		else j = fail[j];
	}
}

2）KMP

int kmp(int n, int m) {				//n表示长字符串的长度，m表示短字符串的长度
	int res = 0;						//res表示长字符串中有多少个短字符串
	int i = 0, j = 0;					//i表示长字符串当前位置，j表示短字符串当前位置
	while(i < n) {
		if(j==-1 || str[i]==temp[j]) {	//temp存储短字符串，str存储长字符串
			++i, ++j;
			if(j == m) {				//当发现长字符串中有一个短字符串时
				++res;
				j = 0;
			}
		}
		else j = fail[j];
	}
	return res;
}

如果考虑字符串可以覆盖，eg. temp=aza, str=azazaza 考虑覆盖，str中有三个temp，这是只需要修改while循环中的一小步就行

int kmp(int n, int m) {				//n表示长字符串的长度，m表示短字符串的长度
	int res = 0;						//res表示长字符串中有多少个短字符串
	int i = 0, j = 0;					//i表示长字符串当前位置，j表示短字符串当前位置
	while(i < n) {
		if(j==-1 || str[i]==temp[j]) {	//temp存储短字符串，str存储长字符串
			++i, ++j;
		}
		else j = fail[j];
		if(j == m) {				//当发现长字符串中有一个短字符串时
				++res;
			}
	}
	return res;
}

2.trie树（也叫字典树）

引例：

已知n扇门，每扇门对应一个密码（用一个字符串表示，密码已知）

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例如：0对应say，1对应she，2对应shr，3对应her

每次询问时，输入一个密码，求它对应几号门（0,1, …, n-1）

如果把输入的密码和每扇门的密码一一比较，时间复杂度约为O(n*k),k为密码的长度

如果询问q次，时间复杂度为O(q*n*k) 多次询问可能会超时

分析：

构建一棵树如下图在树的叶子节点存储对应的几号门可以将时间复杂度降为O(q*k)

建树时间复杂度：O(k*m) 查询时间复杂度：O(m)

其中k为需要插入字符串的个数（插入一个为O(m)）,m为字符串的长度

1）Trie树----需要的数据结构

const int INDEX_N = 26;			//一个字符串中最多有多少种字符
struct Node {					//树的节点
	int num;						//num表示是几号门
	Node *next[INDEX_N];			//next数组指向子节点

	Node(): num(-1) {				//构造函数
		for(int i=0; i<INDEX_N; i++)
			next[i] = NULL;
	}
};
Node *root = new Node;					//Trie树的根节点

2）Trie树----插入字符串

void insert(string str, int num) {		//str表示要插入的密码，num表示对应的几号门												
    Node *ptr = root;
    for(unsigned int i=0; i<str.size(); i++) {
		int pos = str[i]-'A';
		if(!ptr->next[pos]) ptr->next[pos] = new Node;
		ptr = ptr->next[pos];
	}
	ptr->num = num;
}

3）查找

void search(string str) {
    Node *ptr = root;
    for(unsigned int i=0; i<str.size(); i++) {
		int pos = str[i]-'A';
		if(!ptr->next[pos]) return;
		ptr = ptr->next[pos];
	}
	cout << ptr->num << endl;
}

3.AC自动机

思路：

Trie树结合KMP，就成了AC自动机也就是加上fail指针（如下图）

但是AC自动机的fail指针算法有所不同

重要性质:任何一个点的fail指针，一定是root 或着它父亲fail指针形成的链上的某个点的儿子且这个儿子对应的字符与该节点字符相同

1）需要用到的数据结构

struct Node {
	int index;						//index与num类似，某些节点需要保存的信息
	Node *fail;					//当前节点匹配失败后指向下一个匹配节点
	Node *next[INDEX_N];

	Node(): index(0), fail(NULL) {		//构造函数
		for(int i=0; i<INDEX_N; i++)
			next[i] = NULL;
	}
};
Node *root = new Node;			//根节点

2）插入短字符串

void Insert(string str, int index) {					//str表示插入的短字符串
    Node *ptr = root;
    for(unsigned int i=0; i<str.size(); i++) {
		int pos = str[i]-'A';
		if(!ptr->next[pos]) ptr->next[pos] = new Node;
		ptr = ptr->next[pos];
	}
	ptr->index = index;
}

3）fail指针

void GetFail() {
	queue<Node*> que;
	que.push(root);
	while(!que.empty()) {
		Node *ptr = que.front();
		que.pop();
		for(int i=0; i<INDEX_N; i++)
			if(ptr->next[i]) {
				Node *temp = ptr->fail;
				while(temp && !temp->next[i])
					temp = temp->fail;
				if(temp) ptr->next[i]->fail = temp->next[i];
				else ptr->next[i]->fail = root;
				que.push(ptr->next[i]);
			}
	}
}

4）AC自动机

void Solve(string str)
{
	Node *ptr = root;
	for(unsigned int i=0; i<str.size(); i++)
	{
		if(str[i]<'A' || str[i]>'Z')
		{
			ptr = root;
			continue;
		}

		int pos = str[i]-'A';
		while(ptr!=root && !ptr->next[pos]) ptr = ptr->fail;
		ptr = ptr->next[pos];

		if(!ptr)
		{
			ptr = root;
			continue;
		}

		for(Node *temp=ptr; temp!=root; temp=temp->fail)
			if(temp->index)
				num[temp->index]++;
	}
}

构造时间复杂度：与Trie树类似查询时间复杂度：O(n + k*m)

其中n、m分别为长字符串和短字符串的长度，k为短字符串的个数

4.KMP----fail数组另一个作用

n-fail[n]表示短字符串最小循环节的长度

其中n表示短字符串的长度

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