图像处理------图像锐化（微分法）

取自孙明的＂数字图像处理与分析基础＂
考察正弦函数sin2$\pi$ax，它的微分为2$\pi$acos2$\pi$ax，微分后频率不变，幅度上升2$\pi$a倍．空间频率越高，幅值增加就越大．这表明微分可以通过加强高频成分，使图像轮廓变清晰．最常用的微分方法视梯度法．设有一副图像$f(x,y)$，它的梯度采用数学概念描述时是一个向量，定义为

$$G[f(x,y)]=[ \dfrac{\partial f}{\partial x} \ \dfrac{\partial f}{\partial y}]^T.................(0)$$
可见，梯度具有以下两个重要性质：

• 梯度的方向在函数$f(x,y)$最大变化率的方向上．
• 该梯度向量的模为 $G[f(x,y)]=[( {\partial f}/{\partial x})^2+( {\partial f}/{\partial y})^2]^\dfrac{1}{2}$

$G[f(x,y)]$称为图像$f(x,y)$的梯度，实际上视图像$f(x,y)$的梯度图像．
从数学上说，梯度的数值为$f(x,y)$在其最大变化率方向上的单位距离所增加的量．对于数学图像，可用差分来近似微分．

几种常见差分算法

（1）梯度算法
按照差分运算近似的梯度表达式为
$G[f(x,y)]=[ (f(x,y)-f(x+1,y))^2+(f(x,y)-f(x,y+1))^2]^\dfrac{1}{2} ....(1)$
其中，各个像素$f(x,y)$，$f(x+1,y)$，$f(x,y+1)$之间的位置关系为

$f(x,y)$	$f(x,y+1)$
$f(x+1,y)$

（2）罗伯茨（Roberts）梯度算法
另一种常用的梯度算法称为罗伯茨梯度算法，它是一种交叉差分的计算方法，定义为
$G[f(x,y)]=[ (f(x,y)-f(x+1,y+1))^2+(f(x+1,y)-f(x,y+1))^2]^\dfrac{1}{2} ....(2)$
其中，各个像素$f(x,y)$，$f(x+1,y+1)$，$f(x+1,y)$，$f(x,y+1)$之间的位置关系为

$f(x,y)$	$f(x,y+1)$
$f(x+1,y)$	$f(x+1,y+1)$

（3）索伯尔（Sobel）算法
索伯尔算法的差分可表示为
$G[f(x,y)]=\sqrt{[ d_1f(x,y)]^2+d_2f(x,y)]^2}.........(3)$
其中，$d_1f(x,y)=(a_2+ca_3+a_4)-(a_0+ca_7+a_6)$，$d_2f(x,y)=(a_0+ca_1+a_2)-(a_6+ca_5+a_4)$，而$a_0$,$a_1$,……,$a_7$之间的位置关系如图１(a)所示，$d_1$和$d_２$为图１(b)和(c)所示的模板，其中常数c=2．

$a_0$	$a_1$	$a_2$
$a_7$	$(x,y)$	$a_3$
$a_6$	$a_5$	$a_4$

图1(a) $a_0$,$a_1$,……,$a_7$之间的位置关系

$-1$	$0$	$1$
$-c$	$0$	$c$
$-1$	$0$	$1$

图1(b) $d_1$

$1$	$c$	$1$
$0$	$0$	$0$
$-1$	$-c$	$1$

图1(b) $d_2$
上面三图是索伯尔和普瑞维特算法模板
（4）普瑞维特（Prewitt）算法
普瑞维特算法的方程与索伯尔算法相同，只是常数c=1，如图(1)所示．与索伯尔算法方程相同的算法还有Sethi算法，这种算法的常数c=3；以及各向同性索伯尔(Isotropic Sobel)算法，次算法的常数$c=\sqrt{2}$．后者的特点是沿不同方向锐化时梯度幅值一致．
上述采用平方根的算法运算较费时，为更适合计算机实现，采用下面的绝对差分算法．
梯度算法：
$G[f(x,y)]\approx|f(x,y)-f(x+1,y)|+|f(x,y)-f(x,y+1)|$
罗伯茨梯度算法：
$G[f(x,y)]\approx|f(x,y)-f(x+1,y+1)|+|f(x+1,y)-f(x,y+1)|$
索伯尔和普瑞维特算法：
$G[f(x,y)]\approx|d_1f(x,y)|+|d_2f(x,y)|$
（5）拉普拉斯算法（二阶差分）
拉普拉斯算法的差分可表示为
$G^2[f(x,y)]=\Delta_1^2f(x,y)+\Delta_1^2f(x,y) =f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)……(4)$
其模板如下图所示，这个模板可作为拉普拉斯1模板，常用的其它拉普拉斯模板入表１所示．

表１如下

（6）LoG算法
LoG边缘检测器的基本特征是，平滑滤波器是高斯滤波器，加强步骤采用二阶差分（拉普拉斯算法）．LoG算子的输出是通过卷集运算得到的：
$h(x,y)=G^2[g(x,y)*f(x,y)]..................(5)$
根据卷积微分法有：
$h(x,y)=[G^2g(x,y)]*f(x,y)..................(6)$
其中

$$G^2g(x,y)=(\dfrac{x^2+y^2-2\sigma^2}{\sigma^4})e^{-\dfrac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}$$
直接实现LoG算法如图3所示，这是一个5*5拉普拉斯高斯模板．

对N*N数字图像，不可能在最后一行(x=N)和最后一列(y=N)像素上计算梯度值．一种补救办法视用前一行(x=N-1)和前一列(y=N-1)对应的像素的梯度值．
某像素上的梯度值视该像素与相邻像素的灰度差值的单调递增函数，具有以下特点：

• 图像轮廓上，像素灰度右陡然变化，梯度值很大．
• 图像灰度　变化平缓区域，梯度值很小．
• 等灰度区域，梯度值为零．

后续会加入scipy库中相关函数处理的程序
未完待续．．．．．．