HDU-1166 敌兵布阵（分块/树状数组/线段树）

题意

给定 $n$ 个数，有三种操作：给某个数加一个值，给某个数减一个值，询问一段区间数的总和（万能模板题）。
$1 \leq n \leq 50000$

思路

练习数据结构的模板题，有三种比较基本的数据结构可以解决，分块、树状数组、线段树，这里逐一介绍。

分块

在我的理解中，分块并不是一种数据结构，而是一种思想。对一段连续的区间赋值，就当是 $n$ 吧，复杂度是 $O(n)$，但如果将这个 $n$ 分成若干块，每块大小是 $S$（可以不完整），平均下来有是 $\dfrac n S$ 块。每次修改碰到完整区间可以先打上标记，等下次需要查询这个区间部分的时候再解开标记向内部更新（用这次的复杂度完成上次的事情，延迟更新的思想）。这样一次修改、查询就都变成了 $O(S+\dfrac n S)$，而基本不等式告诉我们，当 $S$ 取 $\sqrt n$ 时，能保证复杂度尽可能小，是 $O(\sqrt n)$ 级别的。

树状数组

树状数组，我一般将它看作一种特殊的前缀数组，通过递归（写成循环）得到结果。设 $a$ 的树状数组为 $c$ ，那么 $c_i$ 有 $lowbit(i)$ 个元素，如 $c_6$ 有两个元素， $c_7$ 有一个元素。如在求 $a_1+a_2+...+a_6$ 时，先访问 $c_6$，这样就得到了后 $lowbit(6)$ 即后两个元素的总和，然后原式就转化成了求 $a_1+a_2+...+a_4$ 的和。也就是求 $a_1+a_2+...+a_n$ 实际上是将 $n$ 二进制位上的 $1$ 从低到高逐步剥去。而给某个元素加上某个值，只是上述的逆运算罢了，不断加目前加到数 $x$ 的 $lowbit(x)$。这样也不难看出，复杂度都是 $O(logn)$ 级别的，而且常数非常小，一般不到 $O(logn)$ 次就完成了。

线段树

线段树，节点表示的是一段线段（区间）的树，无论是区间（单点）修改、区间（单点）查询，复杂度都能保证在 $O(logn)$ 级别，但常数比树状数组大。线段树我认为还是分治的思想体现的更到位。在要对区间 $[L,R]$ 查询或修改时，如果目前递归到的节点是 $[l,r]$ 我们只用取 $[l,r]$ 的中点 $mid$，如果 $[L,R]$ 完全在 $mid$ 的一边，那就只往那一边递归，否则向两边递归。线段树的区间修改也有分块的延迟更新思想在，比如当完整覆盖某个区间时，可以先对这个区间打上标记，等下次需要部分查询时再解开标记。

代码

分块

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define N 50003
typedef long long LL;
using namespace std;

template<const int maxn>struct Block
{
    int a[maxn],sum[maxn],tag[maxn];
    int bs,cnt;
    Block(){bs=sqrt(maxn),cnt=(maxn+bs-1)/bs;}
    void build(int *arr,int n)
    {
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        memset(tag,0,sizeof(tag));
        FOR(i,1,n)
        {
            a[i]=arr[i];
            sum[i/bs]+=a[i];
        }
    }
    void push_down(int _)
    {
        if(!tag)return;
        FOR(i,_*bs,(_+1)*bs-1)
            a[i]+=tag[_];
        tag[_]=0;
    }
    void update(int x,int y,int addval)
    {
        int kx=x/bs,ky=y/bs;
        push_down(kx),push_down(ky);
        if(kx==ky)
        {
            FOR(i,x,y)
            {
                a[i]+=addval;
                sum[kx]+=addval;
            }
            return;
        }
        for(int i=x;i<(kx+1)*bs;i++)
        {
            a[i]+=addval;
            sum[kx]+=addval;
        }
        for(int i=ky*bs;i<=y;i++)
        {
            a[i]+=addval;
            sum[ky]+=addval;
        }
        FOR(i,kx+1,ky-1)
        {
            tag[i]+=addval;
            sum[i]+=bs*addval;  
        }
    }
    int query(int x,int y)
    {
        int res=0,kx=x/bs,ky=y/bs;
        push_down(kx),push_down(ky);
        if(kx==ky)
        {
            FOR(i,x,y)res+=a[i];
            return res;
        }
        for(int i=x;i<(kx+1)*bs;i++)
            res+=a[i];
        for(int i=ky*bs;i<=y;i++)
            res+=a[i];
        FOR(i,kx+1,ky-1)
            res+=sum[i];
        return res;
    }
};
Block<N>B;
int a[N];
int main()
{
    int T,n;
    scanf("%d",&T);
    FOR(Ti,1,T)
    {
        scanf("%d",&n);
        FOR(i,1,n)scanf("%d",&a[i]);
        printf("Case %d:\n",Ti);
        B.build(a,n);
        char str[10];
        while(scanf("%s",str))
        {
            int x,y;
            if(str[0]=='A'||str[0]=='S')
            {
                scanf("%d%d",&x,&y);
                B.update(x,x,str[0]=='A'?y:-y);
            }
            else if(str[0]=='Q')
            {
                scanf("%d%d",&x,&y);
                printf("%d\n",B.query(x,y));
            }
            else if(str[0]=='E')break;
        }
    }
    return 0;
}

树状数组

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
#define N 50003
typedef long long LL;
using namespace std;
int sum[N],n;

void update(int x,int y)
{
    while(x<=n)
    {
        sum[x]+=y;
        x+=lowbit(x);
    }
    return;
}
int query(int x)
{
    int res=0;
    while(x)
    {
        res+=sum[x];
        x^=lowbit(x);
    }
    return res;
}

int main()
{
    int T,a;
    scanf("%d",&T);
    FOR(Ti,1,T)
    {
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        scanf("%d",&n);
        printf("Case %d:\n",Ti);
        FOR(i,1,n)
        {
            scanf("%d",&a);
            update(i,a);
        }
        int x,y;
        char str[10];
        while(~scanf("%s",str))
        {
            if(str[0]=='Q')
            {
                scanf("%d%d",&x,&y);
                printf("%d\n",query(y)-query(x-1));
            }
            else if(str[0]=='A'||str[0]=='S')
            {
                scanf("%d%d",&x,&y);
                update(x,str[0]=='A'?y:-y);
            }
            else if(str[0]=='E')break;
        }
    }
    return 0;
}

线段树

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define N 50003
typedef long long LL;
using namespace std;

struct node
{
    int L,R,sum;
    int lth(){return R-L+1;}
};
struct SegmentTree
{
    node nd[N<<2];
    void build(int k,int L,int R,int *arr)
    {
        nd[k].L=L,nd[k].R=R;
        if(L==R)
        {
            nd[k].sum=arr[L];
            return;
        }
        build(k<<1,L,L+R>>1,arr);
        build(k<<1|1,(L+R>>1)+1,R,arr);
        nd[k].sum=nd[k<<1].sum+nd[k<<1|1].sum;
    }
    void update(int k,int x,int addval)
    {
        if(nd[k].L==nd[k].R)
        {
            nd[k].sum+=addval;
            return;
        }
        int mid=nd[k].L+nd[k].R>>1;
        if(x<=mid)update(k<<1,x,addval);
        if(mid<x)update(k<<1|1,x,addval);
        nd[k].sum=nd[k<<1].sum+nd[k<<1|1].sum;
        return;
    }
    int query(int k,int L,int R)
    {
        if(L<=nd[k].L&&nd[k].R<=R)return nd[k].sum;
        int res=0,mid=nd[k].L+nd[k].R>>1;
        if(L<=mid)res+=query(k<<1,L,R);
        if(mid<R)res+=query(k<<1|1,L,R);
        return res;
    }
}ST;
int a[N];

int main()
{
    int T,n;
    scanf("%d",&T);
    FOR(Ti,1,T)
    {
        scanf("%d",&n);
        FOR(i,1,n)scanf("%d",&a[i]);
        printf("Case %d:\n",Ti);
        ST.build(1,1,n,a);
        char str[10];
        while(~scanf("%s",str))
        {
            if(str[0]=='E')break;
            int x,y;
            scanf("%d%d",&x,&y);
            if(str[0]=='Q')printf("%d\n",ST.query(1,x,y));
            else if(str[0]=='A')ST.update(1,x,y);
            else if(str[0]=='S')ST.update(1,x,-y);
        }
    }
    return 0;
}