一、题意
求椭圆内接矩形周长的期望。
二、推导过程
已知$c$，容易得出矩形弦长$d=4a\sqrt{1-\frac{c^2}{b^2}}$
接下来，矩形周长$p=4c+d=4c+4a\sqrt{1-\frac{c^2}{b^2}}$
那么，椭圆内接矩形周长的期望值$E=\frac{\int_{0}^{b}(4c+4a\sqrt{1-\frac{c^2}{b^2}})\, dc}{b}$
令$F(c)=\int_{0}^{b}(4c+4a\sqrt{1-\frac{c^2}{b^2}})\, dc$, 那么：
$F(c)=\int_{0}^{b}(4c+4a\sqrt{1-\frac{c^2}{b^2}})\, dc$
$=\int_{0}^{b}4c\,dc + \int_{0}^{b}4a\sqrt{1-\frac{c^2}{b^2}}\,dc$
$=2b^2 + \frac{4a}{b}\int_{0}^{b}\sqrt{b^2-c^2}\,dc$
$=2b^2 + \frac{4a}{b}(\frac{1}{2}(c\sqrt{b^2-c^2}+b^2*arcsin\frac{c}{b}))\,|_{0}^{b}$
$=2b^2 + \frac{2a}{b}(c\sqrt{b^2-c^2}+b^2*arcsin\frac{c}{b})\,|_{0}^{b}$
$=2b^2 + \frac{2a}{b}(b^2*\frac{\pi}{2})$
$=2b^2 + ab\pi$
所以，$E=\frac{F(c)}{b}=2b+a\pi$