Throwing Balls into the Baskets （概率 DP）

You probably have played the game "Throwing Balls into the Basket". It is a simple game. You have to throw a ball into a basket from a certain distance. One day we (the AIUB ACMMER) were playing the game. But it was slightly different from the main game. In our game we were N people trying to throw balls into M identical Baskets. At each turn we all were selecting a basket and trying to throw a ball into it. After the game we saw exactly S balls were successful. Now you will be given the value of N and M. For each player probability of throwing a ball into any basket successfully is P. Assume that there are infinitely many balls and the probability of choosing a basket by any player is 1/M. If multiple people choose a common basket and throw their ball, you can assume that their balls will not conflict, and the probability remains same for getting inside a basket. You have to find the expected number of balls entered into the baskets after K turns.

Input

Input starts with an integer T (≤ 100), denoting the number of test cases.

Each case starts with a line containing three integers N (1 ≤ N ≤ 16), M (1 ≤ M ≤ 100) and K (0 ≤ K ≤ 100) and a real number P (0 ≤ P ≤ 1). P contains at most three places after the decimal point.

Output

For each case, print the case number and the expected number of balls. Errors less than 10-6will be ignored.

Sample Input

1 1 1 0.5

1 1 2 0.5

Sample Output

Case 1: 0.5

Case 2: 1.000000

题意：

n个人 m个篮子每一轮每个人可以选 m 个篮子中一个扔球扔中的概率都是p 求k轮后所有篮子里面球数量的期望值

首先：

我们要知道每一次扔的时候,0个人扔进的概率,1个人扔进的概率….
由于最后不关心M个篮子里球的具体情况,所以M其实没有什么用
只要区分扔不扔进去,至于扔到哪个篮子不管、

有两种方法：

1、直接套公式

首先呢，这个题目是 n 个人投篮的独立实验

独立实验：在概率论中，把在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型

二项分布

定义：在每次试验中只有两种可能的结果，发生或者不发生，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变

一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是p，则不发生的概率 q=1-p，N次独立重复试验中发生k次的概率是：

P(ξ=K)= (k=0，1，2，3…n），

那么就说ξ服从二项分布，其中P称为成功概率，记作：ξ~B(n，p)。

（1）二项分布的期望：E（ξ）=np；

（2）二项分布的方差：D（ξ）=npq [3] 。

几何分布

定义：

在第n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率，详细的说是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。

如果事件发生的概率是p，则不发生的概率q=1-p，则P(ξ=K) =

具有这种分布列的随机变量，称为服从参数p的几何分布。

（1）几何分布的期望E(X)=

（2）几何分布的方差D(X)=

这个题目能用二项分布的原因是：

首先 n 个人投篮是独立发生的，产生的情况之有两种，投进、投不进，并且在这些事件中概率并不会发生变化

每一轮里每一个人投中的期望为p，n个人就为n*p,k轮之后的总期望为k*(n*p);

直接套用公式 N*K*P

Code：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    double n,m,k;
    double p;
    int t;
    double ans=0;
    cin>>t;
    int flag=1;
    while(t--)
    {
        scanf("%lf %lf %lf %lf",&n,&m,&k,&p);
        ans=n*p*k;
        printf("Case %d:",flag++);
        printf(" %.6lf\n",ans);

    }
}

2、推递推关系

根据全期望公式

进行一轮球数量的期望值为 dp[1]*1+dp[2]*2+...+dp[n]*n 记为 ans

其中 dp[i] 表示为 i个人扔中的概率 dp[i] = C(n, i)*p^i*(1-p)^(n-i) ( 有 i 个人投中，就会有 n-i 个人不中，不中的概率是 1-p）

最终答案为 ans×k

Code:

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
//typedef long long LL;
int c(int n,int m)  //  求阶层
{
    int ans=1;  // 打表的话可能会超
    for(int i=1;i<=m ;i++)
    {
        ans*=(n--);
        ans/=i;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    double dp[102];
    double a[102],b[102];
    int t;
    int n,m,k;
    double p;
    int flag=1;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        scanf("%d %d %d %lf",&n,&m,&k,&p);
        a[0]=b[0]=dp[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++) // 求 i^p,(n-i)^p 
        {
            a[i]=a[i-1]*p;  
            b[i]=b[i-1]*(1-p);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)  // 一轮中每个人的概率
            dp[i]=c(n,i)*a[i]*b[n-i];
        double ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            ans+=(double)dp[i]*i; // 一轮中 期望值
        ans*=(double)k; // k 回合的期望值
        printf("Case %d: %.6lf\n",flag++,ans);
    }
}