[NOIp2016] 蚯蚓

类型：单调队列

传送门：>Here<

题意：有$N$只蚯蚓，每秒都会伸长$q$。每一次都会有人选出最长的一条切成两半，长度分别是$\left \lfloor px \right \rfloor$和$x - \left \lfloor px \right \rfloor$ 询问每一秒最长的蚯蚓被切前的长度，以及$m$秒后每条蚯蚓的长度（从大到小排序）

解题思路

NOIp的subtask还是非常良心的。于是决定不看题解开始干……

看完题目，花了10分钟打了一个超级暴力模拟，35分get 然后发现有60分是$q=0$的情况……这不是就是一个裸的堆吗？打了15分钟，50分get（为什么只有50……）然后想了很久没思路，瞟了一眼题解一眼就看到去减长度而不用管加，赶紧开始打调试近40分钟后85分get 然后就开始看题解打正解了……正解也调了20分钟作用最终的AC代码再交一次竟然变成了90 又交一次变成了95 再交一次又100了……洛谷的评测机也不是很稳定啊，这题还是有点卡常

先来看看85分怎么拿。85分的写法在思想上还是很重要的——蚯蚓每秒增长$q$，可以看做是被切的蚯蚓减去$q$。因此我们可以维护一个堆，这样堆的内部就不需要反复更新。但是细节要注意，选择切割的蚯蚓长度应该拿真实的长度来算

然后来看正解。很容易发现，对于两条蚯蚓$x,y$，如果$x>y$，则$x$肯定会先被切掉。不妨设$x$被切掉以后变为$\{a_1, b_1\}$，$y$被切后变为$\{a_2, b_2\}$

由于$y$肯定在$x$被切后若干秒被切，不妨设为$t$秒，则那时四条分出来的小蚯蚓的长度是可以表示的。我们希望能够证明到那时$a_1 > a_2, b_1 > b_2$。我们先来证明$a_1>a_2$，$b$也类似$$a_1 = a_1 + q*t =\left \lfloor px \right \rfloor + q*t$$$$a_2 = \left \lfloor p(y+q*t) \right \rfloor$$则$$a_1-a_2=\left \lfloor px \right \rfloor + q*t-\left \lfloor p(y+q*t) \right \rfloor$$去掉向下取整符号并不会影响答案，因此$$a_1-a_2=p*x+q*t-p*y-p*q*t$$整理得$$a_1-a_2=p(x-y)+q*t(1-p)>0$$故$$a_1>a_2$$

因此我们得出结论：一条蚯蚓如果比另一条蚯蚓早被切，那么它分出来的两条蚯蚓也永远比后分出来的两条蚯蚓要长

于是我们可以考虑维护三个队列$q_1,q_2,q_3$，$q_1$中储存没被切过的蚯蚓，$q_2$中储存切出来的左半条，$q_3$表示右半条。要求队列单调不上升，每一次取出三个队列的队头中的最大值即为所有蚯蚓中最长的，切成两半后分别塞到$q_2,q_3$的队尾。由于刚才证明了后切的一定要短，所以插入队尾后单调性依然满足。故这样的做法是正确的

Code

cur=-INF而不能是-1，因为负数有可能减到很大

/*By DennyQi 2018.8.15*/
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define  r  read()
#define  Max(a,b)  (((a)>(b)) ? (a) : (b))
#define  Min(a,b)  (((a)<(b)) ? (a) : (b))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 7000010;
const int MAXM = 27010;
const int INF = 1061109567;
inline int read(){
    int x = 0; int w = 1; register int c = getchar();
    while(c ^ '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar();
    if(c == '-') w = -1, c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0', c = getchar(); return x * w;
}
double p;
int N,M,Q,U,V,T,_mx,pos,tmp,x,y,cur,top;
int q[4][MAXN],h[4],t[4],a[MAXN];
inline bool comp(const int& a, const int& b){ return a>b; }
int main(){
    N=r,M=r,Q=r,U=r,V=r,T=r;
    p = (double)(U) / (double)(V);
    for(int i = 1; i <= N; ++i) a[i] = r;
    h[1] = h[2] = h[3] = 1;
    q[2][1] = q[3][1] = -INF;
    sort(a+1,a+N+1,comp);
    for(int i = 1; i <= N; ++i) q[1][++t[1]] = a[i];
    for(int _t = 1; _t <= M; ++_t){
        cur = -INF;
        for(int i = 1; i <= 3; ++i){
            if(h[i] > t[i]) continue;
            if(q[i][h[i]] > cur){ cur = q[i][h[i]]; pos = i; }    
        }
        if(_t % T == 0) printf("%d ", cur+(_t-1)*Q);
        ++h[pos];
        x = (cur+(_t-1)*Q) * p, y = (cur+(_t-1)*Q) - x;
        q[2][++t[2]] = x-_t*Q, q[3][++t[3]] = y-_t*Q;
    }
    puts("");
    for(int i = 1; i <= 3; ++i)
        for(int j = h[i]; j <= t[i]; ++j) a[++top] = q[i][j];
    sort(a+1,a+top+1,comp);
    for(int i = 1; i <= top; ++i)
        if(i % T == 0) printf("%d ", a[i]+M*Q);
    return 0;
}

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