经典搜索算法之二分查找与二叉查找树

1.二分查找

二分查找也称为折半查找，它是一种效率较高的查找方法。二分查找的使用前提是线性表已经按照大小排好了序。这种方法充分利用了元素间的次序关系，采用分治策略。基本原理是：首先在有序的线性表中找到中值，将要查找的目标与中值进行比较，如果目标小于中值，则在前半部分找，如果目标小于中值，则在后半部分找；假设在前半部分找，则再与前半部分的中值相比较，如果小于中值，则在中值的前半部分找，如果大于中值，则在后半部分找。以此类推，直到找到目标为止。

假设我们要在 2，6，11，13，16，17，22，30中查找22，上图所示，则查找步骤为：

首先找到中值：中值为13（下标：int middle = (0+7)/2），将22与13进行比较，发现22比13大，则在13的后半部分找；
在后半部分 16，17，22，30中查找22，首先找到中值，中值为17（下标：int middle=(0+3)/2），将22与17进行比较，发现22比17大，则继续在17的后半部分查找；
在17的后半部分 22，30查找22，首先找到中值，中值为22（下标：int middle=(0+1)/2），将22与22进行比较，查找到结果。

二分查找大大降低了比较次数，二分查找的时间复杂度为： $O(log{_2}n)$ ，即 $log{n}$ 。

示例代码：

public class BinarySearch {
	
	public static void main(String[] args) {
		int arr[] = {2, 6, 11, 13, 16, 17, 22, 30};
		System.out.println("非递归结果,22的位置为:" + binarySearch(arr, 22));
		System.out.println("递归结果,22的位置为:" + binarySearch(arr, 22, 0, 7));
	}

	 //非递归
	static int binarySearch(int[] arr, int res) {
		 
		int low = 0;   
	    int high = arr.length-1;   
	    while(low <= high) {
	    	int middle = (low + high)/2;
	    	if(res == arr[middle]) {
	    		return middle;   
	        }else if(res <arr[middle]) {   
	            high = middle - 1;   
	        }else {   
	            low = middle + 1;   
	        }
	    }
	    return -1;  
	 }
	 //递归 
	static int binarySearch(int[] arr,int res,int low,int high){    
	           		     
	    if(res < arr[low] || res > arr[high] || low > high){
	    	return -1;
	    }
	    int middle = (low+high)/2;
	    if(res < arr[middle]){    
	        return binarySearch(arr, res, low, middle-1);    
	    }else if(res > arr[middle]){    
	        return binarySearch(arr, res, middle+1, high);    
	    }else {    
	        return middle;    
	    }    
	  } 
}

2.二叉查找树

一般情况下二分查找比顺序查找在时间上要快很多，但是在频繁修改的表中采用二分查找，其效率是非常低下的，因为顺序表的修改操作效率低下，而二分查找的高效就是利用顺序表的索引来取值进行比较的。为了支持频繁的修改，我们需要采用链表这种数据结构。然而，单链表的查找效率又非常低，为了解决这一问题，二叉查找树(BST)便诞生了。

二叉查找树的特点是：任一结点的值都大于其左子树，小于其右子数，如下图所示：

我们将二叉查找树投影到平面上，实际上就是有顺序的线性表，如下图所示：

二叉查找树既有快速查找的特点，又有快速插入的特点。其查找代码几乎和二分查找一样。

其时间复杂度最好情况为 $O(n)$ ，最差情况为 $O(log{n})$ 。

最好情况为平衡二叉树(即每次查找会分成两半)时，如图：

最差情况为所有数据全部在一端时(链表无索引，需要一个一个搜索),如图：