离散数学 集合论

1 集合代数

1.1 集合的基本概念

1.1.1 定义

集合是不能精确定义的基本概念。直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就称作集合

而这些事物就是这个集合的元素或成员

1.1.2 表示集合的方法

1.1.2.1 列元素法

1.1.2.2 谓词表示法

1.1.3 集合的性质

1.1.3.1 元素的互异性

集合的元素是彼此不同的

1.1.3.2 元素的无序性

集合的元素是无序的

1.1.4 元素和集合之间的关系

元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于或不属于，属于记做$\in$，不属于记做$\notin$

1.1.5 集合之间的关系

1.1.5.1 隶属关系

隶属关系可以看做处在不同层次上的集合之间的关系

1.1.5.2 包含关系

设$A, B$为集合，如果$B$中的每个元素都是$A$中的元素，则称$B$是$A$的子集合，简称子集。这是也成$B$被$A$包含，或 $A$包含$B$，记做$B \subseteq A$

如果$B$不被$A$包含，则记做$B \nsubseteq A$

包含的符号化表示为

$$B \subseteq A \Leftrightarrow \forall x (x \in B \to x \in A)$$

1.1.5.3 相等关系

设$A, B$为集合，如果$A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$，则称$A$与$B$相等，记做$A = B$

如果$A, B$不相等，记作$A \neq B$

相等的符号化表示为

$$A = B \Leftrightarrow A \subseteq B \wedge B \subseteq A$$

1.1.5.4 真子集

设$A, B$为集合，如果$B \subseteq A$ 且 $B \neq A$ 则称$B$是$A$的真子集，记作$B \subset A$

如果$B$不是$A$的真子集，则记做$B \nsubseteq A$

真子集的符号化表示为

$$B \subset A \Leftrightarrow B \subseteq A \wedge B \neq A$$

1.1.6 空集

不含任何元素的集合称作空集，记作$\varPhi$

空集可以符号化表示为

$$\varPhi = \{ x | x \neq x\}$$

1.1.6.1 性质即推论

空集是一切集合的子集

空集是唯一的

1.1.7 n元集

含有$n$个元素的集合简称为$n$元集，它的含有$m(m \le n)$个元素的子集称作它的m元子集

$n$元集的子集个数为$2 ^ n$

1.1.8 幂集

设$A$为集合，把$A$的全体子集构成的集合称作$A$的幂集，称作$P(A)$（或$2 ^ A$）

幂集的符号化表示为

$$P(A) = \{ x | x \subseteq A \}$$

如果$|A| = n$，则 $| P(A) | = 2 ^ n$

1.1.9 全集

在一个问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，记作$E$

全集具有相对性

1.2 集合的运算

1.2.1 集合的初级运算

1.2.1.1 交运算

$\cap$

1.2.1.2 并运算

$\cup$

1.2.1.3 相对补运算

$$A - B = \{x | x \in A \wedge x \notin B \}$$

1.2.1.4 对称差运算

$$A \oplus B = (A - B) \cup (B - A)$$

1.2.2 集合的广义运算

1.2.2.1 广义并

设$A$为集合，$A$的元素的元素构成的集合称作 $A$ 的广义并，记作$\cup A$，符号化表示为

$$\cup A = \{ x | \exists z (z \in A \wedge x \in z) \}$$

1.2.2.2 广义交

设$A$为集合，$A$的所有元素的公共元素构成的集合称作 $A$ 的广义交，记作$\cap A$，符号化表示为

$$\cap A = \{ x | \forall z (z \in A \wedge x \in z) \}$$

1.2.2.3 绝对补运算

在给定全集$E$后

$$\sim A = E - A = \{ x | x \in E \wedge x \notin A \}$$

1.2.3 运算顺序

1.2.3.1 一类运算

广义并，广义交，绝对补运算

1.2.3.2 二类运算

并，交，相对补，对称差运算为二类运算

1.2.3.3 运算顺序

• 一类运算优于二类运算
• 一类运算之间由右向左顺序进行
• 二类运算之间由括号决定先后顺序

1.3 有穷集的计数

1.3.1 计数方法

1.3.1.1 文氏图（venn diagram）

1.3.1.2 包含排斥原理（容斥原理）

1.3.1.2.1 定理描述

设$S$为有穷集，$P_1, P_2, \cdots , P _ n$ 是 $n$ 个性质。$S$中的任何元素$x$或者具有性质$P_ i$ 或者 不具有性质 $P _ i$, 两种情况必居其一。令$A _ i$表示 $S$ 中具有性质 $P _ i$的元素构成的子集，则$S$中不具有性质$P_1, P_2, \cdots , P _ n$ 的元素数为

$$|\bar{A _ 1} \cap \bar{A _ 2} \cap \cdots \cap \bar{A _ n}| = |S| - \sum _ {i = 1} ^ n |A _ i| + \sum _ {1 \le i < j \le n} |A _ i \cap A _ j| + \cdots +(-1) ^ n |A _1 \cap A _ 2 \cap \cdots \cap A _ n|$$

1.3.1.2.2 求欧拉函数

欧拉函数$\varPhi (n) 表示 \{0, 1, \cdots, n - 1\}$中与 $n$ 互素的数的个数。

认为 $\varPhi (1) = 1$

$$\varPhi (n) = |\bar{A _ 1} \cap \bar{A _ 2} \cap \cdots \cap \bar{A _ n}| = n(1 - \frac{1}{p_1})(1 - \frac{1}{p_2}) \cdots (1 - \frac{1}{p_n})$$

1.3.1.2.3 错位排列数

$$D _ n = n ! [1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \cdots + (-1) ^ n \frac{1}{n!}]$$

1.4 集合恒等式

1.4.1 交换律

1.4.2 结合律

1.4.3 幂等律

1.4.4 分配律

1.4.5 吸收律

1.4.6 补元律

$$A \cap \sim A = \varnothing , A \cap \sim A = E$$

1.4.7 零律

1.4.8 同一律

1.4.9 德摩根律

1.4.10 双重否定律

2 二元关系

2.1 有序对与笛卡尔积

2.1.1 有序对

2.1.1.1 定义

由两个元素$x$和$y$（允许$x = y$）按照一定顺序排列成的二元组称作一个有序对或序偶，记作$<x, y>$，其中$x$是它的第一元素，$y$是它的第二元素

2.1.1.2 性质

• 当$x \neq y$时， $<x, y> \neq <y, x>$
• $<x, y> = <y, x>$的充要条件是$x = u$ 且 $y = u$

2.1.2 笛卡尔积

2.1.2.1 定义

设$A, B$为集合，用$A$中元素为第一元素，$B$中元素为第二元素构成有序对。对所有这样的有序对组成的集合称作$A$和$B$的笛卡尔积，记作$A \times B$

笛卡尔积的符号化表示为

$$A \times B = \{ <x, y> | x \in A \wedge y \in B\}$$

2.1.2.2 性质

• $A \times \varnothing = \varnothing, \varnothing \times A = \varnothing$
• 一般来说，不满足交换律
• 不满足结合律
• 对并和交运算满足分配律
• $A \subseteq C \wedge B \subseteq D \Rightarrow A \times B \subseteq C \times D$

2.2 二元关系

2.2.1 定义

如果一个集合满足以下条件之一
- 集合非空，且他的元素都是有序对
- 集合是空集

则称该集合为一个二元关系，记作$R$，二元关系也可简称为关系。对于二元关系R，如果$<x, y> \in R$，则记做$x R y$

设$A, B$为集合，$A \times B$ 的任何子集所定义的二元关系称作从$A$到$B$的二元关系，特别当$A = B$时称作A上的二元关系

如果$|A| = n, |B| = m$，那么$|A \times B| = nm$，从$A$到$B$的二元关系有$2 ^ {nm}$个

2.2.2 特殊的二元关系

2.2.2.1 空关系

2.2.2.2 全域关系

$$E _ A = \{<x, y> | x \in A \wedge y \in A\} = A \times A$$

2.2.2.3 恒等关系

$$E _ A = \{<x, x> | x \in A \}$$

2.2.2.4 小于等于关系

2.2.2.5 整除关系

2.2.2.6 包含关系

2.2.3 关系的表示

2.2.3.1 集合表达式

2.2.3.2 关系矩阵

$$r _ {ij}\left \{ \begin{aligned} & 1, x _ i R x _ j\\ & 0, else \end {aligned} \right.$$

记做$M _ R$

2.2.3.3 关系图

2.3 关系的运算

2.3.1 基本概念

2.3.1.1 定义域

$R$中所有有序对的第一元素构成的集合称作$R$的定义域，记作$dom R$，形式化表示为

$$dom R = \{ x | \exists y (<x, y> \in R)\}$$

2.3.1.2 值域

$R$中所有有序对的第二元素构成的集合称作$R$的值域，记作$ran R$，形式化表示为

$$ran R = \{ y | \exists x (<x, y> \in R) \}$$

2.3.1.3 域

$R$的定义域和值域的并集称作$R$的域，记作$fld R$，形式化表示为

$$fld R = dom R \cup ran R$$

2.3.1.4 逆关系

设$R$为二元关系，$R$的逆关系，简称$R$的逆，记作$R ^ {-1}，其中$

$$R ^ {-1} = \{ <x, y> | <y, x> \in R \}$$

2.3.1.5 右复合

设$F, G$为二元关系，$G$对$F$的右复合记作$F \circ G$，其中

$$F \circ G = \{ <x, y> | \exists t ( <x, t> \in F \wedge <t, y> \in G) \}$$

2.3.1.6 限制和像

$R$在$A$上的限制记作$R \upharpoonright A$，其中

$$R \upharpoonright A = \{ <x, y> | x R y \wedge x \in A \}$$

$A$在$R$下的像记作$R[A]$，其中

$$R[A] = ran(R \upharpoonright A)$$

2.3.1.7 幂

设$R$为$A$上的关系 ，$n$为自然数，则$R$的$n$次幂$R ^ n$定义为

• $R ^ 0 = \{ <x, x> | x \in A \} = I _ A$
• $R ^ {n + 1} = R ^ n \circ R$

2.3.2 关系运算的性质

$$(F ^ {-1}) ^ {-1} = F$$

$$dom F ^ {-1} = ran F, ran F ^ {-1} = dom F$$

$$(F \circ G) \circ H = F \circ (G \circ H)$$

$$(F \circ G) ^ {-1} = G ^ {-1} \circ F ^ {-1}$$

$$R \circ I _ A = I _ A \circ R = R$$

$$F \circ (G \cup H) = F \circ G \cup F \circ H$$

$$(G \cup H) \circ F = G \circ F \cup H \circ F$$

$$F \circ (G \cap H) \subseteq F \circ G \cap F \circ H$$

$$(G \cap H) \circ F \subseteq G \circ F \cap H \circ F$$

$$F \upharpoonright G (A \cup B) = F \upharpoonright A \cup F \upharpoonright B$$

$$F[A \cup B] = F[A] \cup F [B]$$

$$F \upharpoonright (A \cap B) = F \upharpoonright A \cap F \upharpoonright B$$

$$F[A \cap B] \subseteq F[A] \cap F [B]$$

$$R ^ m \circ R ^ n = R ^ {m + n}$$

$$(R ^ m) ^ n = R ^ {mn}$$

$$R _ 1 \subseteq R _ 2 \Rightarrow r(R _ 1) \subseteq r(R _ 2) \wedge s(R _ 1) \subseteq s(R _ 2) \wedge t(R _ 1) \subseteq t(R _ 2)$$

$$R 自反 \Rightarrow s(R) 和 t(R) 自反$$

$$R 对称 \Rightarrow r(R) 和 t(R) 对称$$

$$R 传递 \Rightarrow r(R) 传递$$

2.4 关系的性质

2.4.1 自反性与反自反性

2.4.1.1 自反性

$R$在$A$上自反 $\Leftrightarrow \forall x (x \in A \to <x, x> \in R)$

2.4.1.2 反自反性

$R$在$A$上反自反 $\Leftrightarrow \forall x (x \in A \to <x, x> \notin R)$

2.4.2 对称性与反对称性

2.4.2.1 对称性

$R$在$A$上对称 $\Leftrightarrow \forall x \forall y (x, y \in A \wedge <x, y> \in R \to <y, x> \in R)$

2.4.2.2 反对称性

$R$在$A$上反对称 $\Leftrightarrow \forall x \forall y (x, y \in A \wedge <x, y> \in R \wedge <y, x> \in R \to x = y)$

2.4.3 传递性

$R$在$A$上传递 $\Leftrightarrow \forall x \forall y \forall z (x, y, z \in A \wedge <x, y> \in R \wedge <y, z> \in R \to <x, y> \in R)$

2.4.4 性质的判别

表示\性质	自反	反自反	对称	反对称	传递
集合表达式	$I _ A \subseteq R$	$R \cap I _ A = \varnothing$	$R = R ^ {-1}$	$R \cap R ^ {-1} \subseteq I _ A$	$R \circ R \subseteq R$
关系矩阵	主对角线元素全是1	主对角线元素全是0	矩阵为对称矩阵	如果 $r_{ij} = 1$, 且$i \neq j$，则$r_{ji} = 0$	对 $M ^ 2$ 中 1 所在的位置，在$M$中相应的位置也是 1
关系图	每个节点都有环	每个节点都没有环	如果两个节点之间有边，则是一对方向相反的边（无向边）	如果两个节点之间有边，则是一条有向边（无双向边）	如果节点$x_i$ 到 $x _ j$ 有边， $x _ j$ 到 $x _ k$ 有边，则从$x_i$ 到 $x _ k$ 有边

2.5 关系的闭包

2.5.1 自反闭包

设$R$是非空集合$A$上的关系，$R$的自反闭包是$A$上的关系$R'$，使得$R'$满足以下条件。

• $R'$是自反的
• $R \subseteq R'$
• 对$A$上任何包含$R$的自反关系 $R ''$ 有 $R' \subseteq R ''$

记作$r(R)$

$$r(R) = R \cup R ^ 0$$

2.5.2 对称闭包

设$R$是非空集合$A$上的关系，$R$的对称闭包是$A$上的关系$R'$，使得$R'$满足以下条件。

• $R'$是对称的
• $R \subseteq R'$
• 对$A$上任何包含$R$的对称关系 $R ''$ 有 $R' \subseteq R ''$

记作$s(R)$

$$s(R) = R \cup R ^ {-1}$$

2.5.3 传递闭包

设$R$是非空集合$A$上的关系，$R$的传递闭包是$A$上的关系$R'$，使得$R'$满足以下条件。

• $R'$是自反的
• $R \subseteq R'$
• 对$A$上任何包含$R$的传递关系 $R ''$ 有 $R' \subseteq R ''$

记作$t(R)$

$$t(R) = R \cup R ^ 2 \cup R ^ 3 \cup \cdots$$

2.6 等价关系与划分

2.6.1 等价关系

$A$上的自反、对称和传递的关系

2.6.2 等价类

2.6.2.1 定义

设$R$为集合$A$上的等价关系，$x \in A, A$中与$x$等价的元素构成的集合称为$x$的等价类，记作$[x]_R$，简记为$[x]$或$\bar{x}$,即$[x]_R = \{ y | y \in A \wedge x R y\}$

2.6.2.2 性质

$\forall x \in A, [x]$是$A$的非空子集

$\forall x, y \in A$若$x R y$，则$[x] = [y]$

$\forall x, y \in A$若$x$与$y$ 不存在关系$R$，则$[x] \cap [y] = \varnothing$

$\cup \{ [x] | x \in A \} = A$

2.6.3 商集

设$R$为$A$上的等价关系，其等价类的集合 $\{ [x] _ R | x \in A \}$ 称为$A$关于$R$的商集，记作$A/R$

2.6.4 划分

2.6.4.1 定义

设集合 $\pi$ 是 $A$ 的非空子集的集合，若这些非空子集两两不交，且它们的并等于$A$，则称$\pi$是集合$A$的划分

2.6.4.2 等价关系与划分之间的一一对应

集合$A$上的等价关系$R$所确定的商集$A/R$就是划分；反之，给定$A$的划分$\pi$，定义$A$上的关系$R = \{ <x, y> | x, y \in A 且 x, y在 \pi的同一个划分块里\}$，则$R$是$A$上的等价关系

2.7 偏序关系

2.7.1 偏序关系

$A$上的自反、反对称和传递的关系

2.7.2 偏序集与全序集

2.7.2.1 偏序集

集合$A$和$A$上的偏序关系$\preccurlyeq$构成偏序集，记作$<A, \preccurlyeq>$

在偏序集中任取元素$x, y$ 可能出现下述$4$种不同情况：$x = y, x \prec y , y \prec x$ $x$ 与 $y$不可比，即$x,y$没有序的关系

2.7.2.2 覆盖

如果$x \prec y$ ，且在$x,y$之间没有其他元素$z$使得$x \prec z \prec y$成立，则称$y$覆盖$x$

2.7.2.3 全序集（线序集）

如果在一个偏序集中任两个元素都可比，则称该偏序关系为全序关系或线序关系，相应的偏序集称为全序集或线序集

2.7.3 哈斯图

有穷偏序集可以用哈斯图来表示。在哈斯图中用结点表示$A$中的元素，如果对于不同的结点$x$和$y$，$x \prec y$，那么$x$画在$y$的下方；如果$y$覆盖$x$，则在$x,y$之间连一条线

2.7.4 特殊元素

设$<A, \preccurlyeq>$为偏序集，$B$是$A$的子集，与$B$相关的特殊元素有：

2.7.4.1 极大元

$$y \in B \wedge \urcorner \exists x (x \in B \wedge y \prec x )$$

2.7.4.2 极小元

$$y \in B \wedge \urcorner \exists x (x \in B \wedge x \prec y)$$

2.7.4.3 最大元

$$y \in B \wedge \forall x (x \in B \to x \preccurlyeq y )$$

2.7.4.4 最小元

$$y \in B \wedge \forall x (x \in B \to y \preccurlyeq x )$$

2.7.4.5 上界

$$y \in A \wedge \forall x (x \in B \to x \preccurlyeq y)$$

2.7.4.6 下界

$$y \in A \wedge \forall x (x \in B \to y \preccurlyeq x)$$

2.7.4.7 上确界（最小上界）

上界中的最小元

2.7.4.8 下确界（最大下界）

下界中的最大元

3 函数

3.1 函数的定义与性质

3.1.1 函数的基本概念

3.1.1.1 函数的定义

设$F$为二元关系，若$\forall x \in dom F$都存在唯一的$y \in ran F$ 使 $x F y$成立，则称$F$为函数

对于函数$F$，如果有$x F y$，则记作$y = F (x)$，并称$y$为$F$在$x$的值

3.1.1.2 从A到B的函数

设$A, B$为集合，如果$f$为函数，且$dom f = A, ran f \subseteq B$，则称$f$为从$A$到$B$的函数，记作$f:A \to B$

3.1.1.3 B上A

从$A$到$B$的全体函数的集合，即$B ^ A = \{ f | f : A \to B \}$

若$|B| = m, |A| = n$，那么$|B ^ A| = m ^ n$

3.1.1.4 像

设$f : A \to B, A _ 1 \subseteq A, f(A _ 1) = \{ f(x) | x \in A _ 1 \}$称为$A _ 1$ 在 $f$下的像。

$f(A)$称为函数的像

3.1.1.5 完全原像

设$f : A \to B , B _ 1 \subseteq B, f ^ {-1} (B _ 1) = \{ x | x \in A \wedge f(x) \in B _ 1\}$称为$B _ 1$在$f$下的完全原像

一般来说，像与完全原像满足下述性质：

$$A _ 1 \subseteq f ^ {-1}(f(A _ 1)), f(f ^ {-1}(B _ 1)) \subseteq B _ 1$$

3.1.2 函数的性质

3.1.2.1 满射

$$ran f = B$$

3.1.2.2 单射

$$\forall x _ 1 \forall x _ 2(x _ 1, x _ 2 \in A \wedge x _ 1 \neq x _ 2 \to f (x _ 1) \neq f(x _ 2))$$

3.1.2.3 双射（一一映像）

$f$是单射的并且是满射的

3.1.3 特殊函数

3.1.3.1 常函数

3.1.3.2 恒等函数

3.1.3.3 单调函数

3.1.3.4 集合的特征函数

3.1.3.5 自然映射

3.2 函数的复合与反函数

3.2.1 函数的复合

3.2.1.1 定义

设$F, G$是函数，则$F \circ G$也是函数，且满足

$$dom (F \circ G) = \{ x | x \in dom F \wedge F (x) \in dom G \}$$

$$\forall x \in dom (F \circ G), F \circ G (x) = G (F(x))$$

3.2.1.2 定理

设$f : A \to B, g : B \to C$，若$f, g$都是满射（单射或者双射）的，则$f \circ g : A \to C$也是满射（单射或者双射）的

设$f : A \to B$，则有$f = f \circ I _ B = I _ A \circ f$

3.2.2 函数的反函数

3.2.2.1 定义

对于双射函数$f : A \to B$，称$f ^ {-1} : B \to A$是它的反函数

3.2.2.2 定义

设$f : A \to B$是双射的，则$f ^ {-1} : B \to A$也是双射的

设$f : A \to B$是双射的，则$f ^ {-1} \circ f = I _ B, f \circ f ^ {-1} = I _ A$

3.3 双射函数与集合的基数

3.3.1 集合的等势与优势

3.3.1.1 等势

3.3.1.1.1 等势的定义

设$A , B$为集合，如果存在从$A$到$B$的双射函数，则称$A$与$B$等势，记作$A \approx B$

3.3.1.1.2 等势的性质

设$A, B, C$是任意集合，则

$$A \approx A, A \approx B \Rightarrow B \approx A, A \approx B \wedge B \approx C \Rightarrow A \approx C$$

3.3.1.1.3 康托定理

自然数集$N$与实数集$R$不等势，集合$A$与其幂集$P(A)$不等势

3.3.1.2 优势与真优势

3.3.1.2.1 定义

设$A , B$为集合，如果存在从$A$到$B$的单射函数，则称$B$优势于$A$，记作$A \preccurlyeq \cdot B$

若$A \preccurlyeq \cdot B$且$A$与$B$不等势，则称$B$真优势于$A$，记作$A \prec \cdot B$

3.3.1.2.2 性质

设$A, B, C$是任意集合，则

$$A \preccurlyeq \cdot A, A \preccurlyeq \cdot B \wedge B \preccurlyeq \cdot C \Rightarrow A \preccurlyeq \cdot C， A \preccurlyeq \cdot B \wedge B \preccurlyeq \cdot A \to A \approx B$$

3.3.1.3 关于等势与优势的重要结果

$$N \approx Z \approx Q \approx N \times N$$

$$R \approx [a, b] \approx (c, d) \approx \{0, 1\} ^ N \approx P (N)$$

$$\{0, 1\} ^ A \approx P(A)$$

$$N \prec \cdot R$$

$$A \prec \cdot P(A)$$

3.3.2 集合的基数

3.3.2.1 定义

集合$A$的基数记作$card A$

3.3.2.2 有穷集A的基数

与$A$等势的唯一的自然数（也是$A$中的元素个数），记作$|A|$

3.3.2.3 自然数集合的基数

$\aleph _ 0$读作阿列夫零

3.3.2.3 实数集合的基数

$\aleph$读作阿列夫

3.3.2.2 集合的基数就是集合的势

3.3.2.3 有穷基数与无穷基数

全体自然数是有穷集合的基数，也称作有穷基数

$\aleph _ 0, \aleph, \cdots$是无穷集合的基数，也称作无穷基数

3.3.2.4 可数集（可列集）

设$A$为集合，若$card A \le \aleph _ 0$，则称$A$为可数集或可列集