最大公约数---欧几里得算法

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求解两个正整数的最大公约数(Greatest Common Devisor)，可以采用循环进行遍历，不过效率很低。所以引入欧几里得算法(Euclid’s algorithm)。

欧几里得算法基于GCD递归引理：

对任意非负整数a和任意正整数b，
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

可以直接写出递归程序：

int GCD(int a, int b)
{   
    if(0 == b)
        return a;
    else
        return GCD(b, a % b);
}

• 复杂度分析
  运行时间与递归调用的次数成正比。

时间复杂度$O(lg b)$，最坏情况下计算次数$N\le 5log_{10}b$。

证明：欧几里得算法

• 扩展欧几里得算法
  可以计算出满足下式的三元组$(d,x,y)$：
  $$d = GCD(a, b) = ax + by$$

int Euclid_extend(int a, int b, int* x, int* y)
{
    if(0 == b)
    {
        *x = 1;
        *y = 0;
        return a;
    }
    else
    {
        int r = Euclid_extend(b,a%b,x,y);
        int temp = *x;
        *x = *y;
        *y = temp - (*y)*(a/b);
        return r;
    }
}

简单证明：
$b=0$是递归基，易得一组解$x=1,y=0$;
$b \neq0$时：
首先递归求解：

$$d'=gcd(b,a\%b)=bx'+(a\%b)y' \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$
我们知道：
$$d=gcd(a,b)=d'=gcd(b,a\%b)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$
$$a\%b=a-b*\biggl\lfloor a/b \biggr\rfloor\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$$
将(2)(3)式带入(1)：
$$d=bx'+(a-b\biggl\lfloor a/b \biggr\rfloor)y'=ay'+b(x'-\biggl\lfloor a/b \biggr\rfloor y')$$
所以，令 $x=y'$、 $y=x'-\biggl\lfloor a/b \biggr\rfloor y'$，就可以满足 $d=ax+by$。