codeforces 236D - Let's Play Osu!

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题面

题意

给出n个数，每个数为1的概率为pi，否则为0，最后的和定义为连续的1构成的序列长度的平方和，求和的期望。

做法

为方便讲述，定义P(i,j)=p[i]*p[i+1]……*p[j-1]*p[j].
首先可以考虑每一个长度的贡献，这样区间（i，j）对答案的贡献为P(i,j) * (1-p[i-1]) * (1-p[j+1])，可以发现这样枚举区间的复杂度为O（n^2），而且因为(1-p[i-1])*(1-p[j+1])的缘故使这种做法很难优化。
因此我们可以将平方和转化一下，可以发现n^2=C(2,n)*2+n,而C(2,n)就是连续几个（大于等于2个）都是1的子段个数，对于这个我们可以递推。
首先设dp[i]表示以i为右端点的所有全部是1的子段对答案的贡献，这样可得：
dp[i]=P(i-1,i)+P(i-2,i)……P(1,i).
而dp[i+1]=P(i,i+1),P(i-1,i+1)……P(1,i+1).
所以dp[i+1]=dp[i]*p[i+1]+p[i]*p[i+1].
直接递推即可得到答案。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define db double
#define N 100100
using namespace std;

int n;
db ans,now,last;

int main()
{
    int i,j;
    db p;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lf",&p);
        now=now*p+p*last;
        ans+=p+now*2;
        last=p;
    }
    printf("%.10f",ans);
}