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Definition
群
G⩽Sn的k−
不动置换类
Zk
称作使
ak
不改变位置的置换集合,它是群
G
的子群.
例如群
G={e,(1 2),(3 4),(1 2)(3 4)}
的
Z1={e,(3 4)}
.
证明:
Zk
是
k−
不动置换类,因此
(k)
是任意
Zk
元素的因子,不妨令它成为
(n)
,易知
(n)(n)=(n)
,于是剩下的因子构成的置换集合
G{n}
会有
G{n}⩽Sn−1(n>1)
.
Definition
下标集合
Ek={a1=k,a2,a3,…,al}
称为
k−
等价类,若
∀ai∈Ek,∃pi,s.t.(a1 ai)|pi
,这里
|
为置换的整除关系若唯一分解
pi=∏(ai aj)
中包含
(a1 ai)
,称
pi
被
(a1 ai)
整除.
Theorem
若
G
是置换群,则
∀k∈[1,n],|G|=|Ek||Zk|
.
证明:
设
Ek={a1=k,a2,…,al}
.
易知
∀ai∈Ek,∃pi∈G,s.t.pi(k)=ai.
那么
∀p∈Zk,(k ai)|ppi,(k aj)/|ppi
,这就说明:
Zkpi∩Zkpj=∅(1)
下面证明
G=∑i=1lZkpi
.
∀pipj=p∈G
,这就证明了
⋃i=1lZkpi⊆G
.
∀p∈G
,必然有
∃ai∈Ek,(k ai)|p
,于是
pp−1i∈Zk即p∈Zkpi
,于是
G⊆⋃i=1lZkpi
.
所以
G=⋃i=1lZkpi
.
又由
(1)
式,就证明了
G=∑i=1lZkpi
.两边计算群阶,就证明了定理.
definition
若
G
是置换群,说
p∈G
含有不动点
δk
,就是说
(k)|p
.记
c1(p)=∑k=1n[(k)|p]
,即
c1(p)
是对置换
p
不动点的计数.
Burnside's Lemma
若
G⊆Sn
,那么
G
对
n
元集合的作用下的等价类计数
f(G)
为:
f(G)=1|G|∑p∈Gc1(p)
证明:
设
G
中所有置换的不动点的总数为
X
,那么
X=∑p∈Gc1(p)
.
而若
p∈Zk
,则
(k)|p
,这就是在说
|Zk|=∑p∈G[(k)|p]
,所以
X=∑k=1n∑p∈G[(k)|p]=∑k=1n|Zk|
.
又
∑k=1n|Zk|=∑k=1n|G||Ek|=|G|∑k=1n1|Ek|
.
显然属于
k¯¯¯
等价类的个数有
|Ek¯¯¯|
个,所以
∑k=1n1|Ek|=∑i=1n∑k¯¯¯=1f(G)[i∈Ek¯¯¯]1|Ek¯¯¯|=∑k¯¯¯=1f(G)1=f(G)
.
于是
f(G)=1|G|∑p∈Gc1(p)
.
举个例子:
Example
求空间三角形染两种颜色本质不同的方案.
解:
首先列出所有八种方案,从左至右从上至下分别编号为1,2,3,…,8.
黑 黑 黑 黑
黑 黑 黑 白 白 黑 白 白
白 白 白 白
黑 黑 黑 白 白 黑 白 白
知道:
记顺时针旋转
60∘
的置换为
ρ
,记沿中线翻转
180∘
的置换为
π
,那么
G={e,ρ,ρ2,π,πρ,πρ2}.
e=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8),ρ=(1)(2 3 5)(4 7 6)(8),π=(1)(2 3)(4)(5)(6 7)(8),
ρ2=(1)(2 5 3)(4 6 7)(8),πρ=(1)(2 5)(3)(4 7)(6)(8),πρ2=(1)(2)(3 5)(4 6)(7)(8).
于是:
f(G)==1|G|(c1(e)+c1(ρ)+c1(π)+c1(πρ)+c1(ρ2)+c1(πρ2))16(8+2+4+4+2+4)=4.
下面列出本质相同的方案:
黑 黑 黑 白
黑 黑 黑 白 白 白 白 白
确实是这样的.
看完了这些,你或许已经稍微掌握了
Burnside
引理的内容,但是这个引理当初是怎么来的呢?或者说,如果从群论的观点出发,对于这个引理会有什么新的理解?如果你想了解,可以继续往下看:
Definition 群G是S的置换群,其对集合S上某元素s的作用产生一个新的集合,记作轨G(s)={gs|g∈G}.
想象一个有限映射
f(s1)=s2
,显然
f
可以成为一个群,那么这样一个群就是上文的群
G
.例如
f(s1)=s2,g(s2)=s3
,那么
g(f(s1))=(g∘f)(s1)=s3
,如果
g,f
是双射,确实
g∘f
确实能够给出一个新的双射.
Theorem
G,S由上文给出,那么G(s)
确定
S
的一个等价类.
证明:
1)
∀s∈S,s∈G(s).由此易知S=⋃s∈SG(s)
.
2)若
s1,s2∈G(s1)∩G(s2),那么G(s1)=G(s2).
因为
s2∈G(s1)⇒∃g∈G,s2=gs1⇒∃g−1∈G,s1=g−1s2
.于是,
∀s∈G(s1),s=g1s1=g1g−1s2=g′1s2,于是s∈G(s2)
.
∀s∈G(s2),s=g2s2=g2gs1=g′2s1,于是s∈G(s1)
.
从而
G(s1)=G(s2)
.
3)若
s1∉G(s2),那么G(s1)∩G(s2)=∅.
设
s∈G(s1)∩G(s2)
,那么
s=g1s1=g2s2
,于是
s1=g−11g2s2
,这就是说
s1∈G(s2)
,但由已知,这是不可能的,于是
G(s1)∩G(s2)=∅
.
综上三点
G(s)
划分
S
的一个等价类,事实上这对应我们之前所描述的
Ek
.那么
Zk
由什么给出呢?
我们知道如果
∀g1,g2∈G,g1s≠g2s
,那么
G(s)=|G|
.但往往,
|G(s)|⩽|G|
,也就是它们不会是严格相等的关系(具体例子,请读者自己尝试举出).
原因就是
∃g1,g2∈G,g1s=g2s
,那么这就是在说
∃g∈G,g−12g1s=gs=s
.
Definition
G,S由上文给出,称
Gs
是
G
对
s
的稳定子群,如果
Gs={g|gs=s,g∈G}
.
下面证明
Gs⩽G
.
证明:
1)如果
g1,g2∈Gs
,那么
g1s=g2s=s
,所以
g1g2s=g1s=s
,所以
g1g2∈Gs
.
2)如果
g∈Gs
,那么
gs=s
,所以
g−1s=s
,所以
g−1∈Gs
.
3)显然
es=s
,所以
e∈Gs
.
Theorem
G,S由上文给出
∀s∈S那么|G/Gs|=|G(s)|
,即
|G|=|G(s)||Gs|
,即
Gs
的指数为
|G(s)|
.
证明:
设
g′∈G
,那么
∀g∈Gs,s′=g′gs=g′s
,所以
(g′Gs)(s)=g′(s)
,
但是
g′g≠g′
,设
g′g∈g′Gs,s.t.g′(s)=s′
,那么我们至多找到
G(s)
个这样的集合.
因为令
s1=g1gs,s2=g2gs,...s|G|=g|G|gs
,至多有
G(s)
个不同的
si
,各取一个代表,易知
G=⋃i=1|G(s)|giGs
,并且右侧集合两两不相交,所以
|G|=|G(s)||Gs|
.
由上定理,我们不难得到以下结论:
1)
Gs
就是前文的
Zk
.
2)考虑
H⩽G
,
H
同样有对
G
集合上元素的作用,并且
H(e)=|G|
,
H(g)=0,g≠e∈G
,这就是在说
|G|=|H(e)||H|=[G:H]|H|
,从而我们知道了
Burnside
引理是
Lagrange
定理的推广.