保险精算笔记Chapter01

第一章 利息的基本概念

一、实际利率与实际贴现率

1.利息的概念：简单来讲就是一定时期内所获得的报酬。这里的报酬与本金、利率有关。

2.本金的概念：借款的初始资金。为计算方便以1开始。可看成起始金额。

3.积累值或终值：积累值得决定因素：a.本金；b.时间长度。

利息即终值减去本金，即它们的差额。

假设：本金为1，经过时间t后的积累值为 $a(t)$ ，例如： $a(1)$ 表示经过一年以后的积累值，$a(0)$ 表示起始值，即 $a(0)=1$ 。一般的，当本金不是1时，可以定义 $A(t) = kA(t)$ ，其中 $k$ 表示起始的本金。

注意：$k$ 可以不是整数。

折现因子：$\frac{1}{a(t)}$ 或 $a^{-1}(t)$ ,其含义：在t期末支付一个单位的现值。

例如下图理解：

现值为当初资金，终值是现在的。两者之间的差额为利息。

1. 第 $n$ 时期所得利息 $I_n = A_n - A_{n-1}$

实际利率

5.利率：$i_n = \frac{{A\left( n \right) - A\left( {n - 1} \right)}}{{A\left( {n - 1} \right)}} = \frac{{{I_n}}}{{A\left( {n - 1} \right)}}$ ，注意这里分母为第 $n$ 期的起始值。

例如：

某人存100元，第一年末为102，第二年末为105.问第一年实际利率，第二年实际利率分别是多少？

解答：本金：$A(0)=100,A(1)=102,A(2)=105$，有 $I_1 = A(1)-A(0)=2,I_2 = A(2) - A(1) = 3$

$i_1 = \frac{I_1}{A(1)} = 2\%,i_2 = \frac{I_2}{A(1)} = 2.941\%$

单利与复利

6.单利：投资1，第$t$期积累值为：$a(t) = 1 + i\times t$ ，即一定时期内，利率一定。

单利情况下的实际利率为： ${i_n} = \frac{{a\left( n \right) - a\left( {n - 1} \right)}}{{a\left( {n - 1} \right)}} = \frac{i}{{1 + i\left( {n - 1} \right)}}$ ,随着$n$增大，实际利率变小，常数的利率代表递减的实际利率。

7.复利：投资1，第$t$期积累值为：$a(t) = (1+i)^t$ ,即将所得利息也作为本金进行计算。

复利情况下的实际利率：${i_n} = \frac{{a\left( n \right) - a\left( {n - 1} \right)}}{{a\left( {n - 1} \right)}} = i$

结论：单利的利息不作为投资资金而再赚取利息，复利则相反。

例子：

某人借款10000元，年利息为 $2 \%$ ,到5年末要还多少？（分别利用单利和复利进行计算。）

解答：按照单利进行计算：则有 $A(5) = 10000\times(1+5\times2\%) = 11000$ ;
按照复利进行计算：则有 $A(5) = 10000\times(1+2\%)^5 = 1.1041e+04$

实际贴现率

考虑这样一个问题：知道现在的金额，如何计算初值？即贴现的问题。

8.实际贴现率：实际贴现率即某时期取得的利息和期末资金的比率。第$n$期的实际贴现率为 ${d_n} = \frac{{A\left( n \right) - A\left( {n - 1} \right)}}{{A\left( n \right)}} = \frac{{{I_n}}}{{A\left( n \right)}}$。在复利情况下的实际贴现率的计算：${d_n} = \frac{{a\left( n \right) - a\left( {n - 1} \right)}}{{a\left( n \right)}} = \frac{i}{{1 + i}}$ ,可得：$i = \frac{d}{1-d}$

贴现率与折现因子的关系:$d=iv = ia^{-1}(t)$ ,按照复利计算。

二、名义利率和名义贴现率

$i^{(m)}$表示每个度量期支付 $m$ 次利息的名义利息，含义：每个 $\frac{1}{m}$ 个度量期的实际利率是 $\frac{i^{(m)}}{m}$;

$d^{(m)}$ 表示每个度量期支付的 $m$ 次利息的名义贴现率，每 $\frac{1}{m}$ 度量期的实际贴现率为 $\frac{d^{(m)}}{m}$

可以得出名义利率与实际利率的关系：

$$1+i=\left ( 1+\frac{i^{(m)}}{m} \right)^m$$

$1+i$ 可以理解为一次性支付，而 $\left ( 1+\frac{i^{(m)}}{m} \right)^m$ 是多次(即进行 $m$ 期支付，利用复利进行计算)进行支付，因而最终的结果相等。从上面等式也可以解出 $i^{(m)} = m[(1+i)^{\frac{1}{m}}-1]$

将贴现期间分成 $m$ 期，则可以得到：

$$v =\frac{1}{1+i} = 1-d = \left ( 1-\frac{d^{(m)}}{m} \right )^m \Leftrightarrow d^{(m)}=m[1- \left (1-d \right )^{\frac{1}{m}}]$$

$1-d$ 可以理解为 $1$ 直接贴现到零时刻，而 $\left ( 1-\frac{d^{(m)}}{m} \right )^m$ 则是分 $m$ 期贴现到零时刻，因而两者相等。

名义利率与名义贴现率之间的关系

从

$$1+i=\left ( 1+\frac{i^{(m)}}{m} \right)^m$$
以及
$$v =\frac{1}{1+i} = 1-d = \left ( 1-\frac{d^{(m)}}{m} \right )^m \Leftrightarrow d^{(m)}=m[1- \left (1-d \right )^{\frac{1}{m}}]$$
可以得到(解出 $i+1$)
$$\left (1+\frac{i^{(m)}}{m} \right) = 1+i =\left (1-\frac{d^{(p)}}{p} \right)^{-p},m,p\in \mathbf{N}^{+}$$

三、利息强度

即将离散连续化。即每时每刻都计算利息。

利息强度的概念：

设积累函数为 $A(t) = ka(t)$, 则：

$$\begin{array}{l} {\delta _t} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{a\left( {t + t} \right) - a\left( t \right)}}{{a\left( t \right)t}}\\ = \frac{1}{{a\left( t \right)}}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{a\left( {t + t} \right) - a\left( t \right)}}{{a\left( t \right)}}\\ = \frac{{a'\left( t \right)}}{{a\left( t \right)}} = \frac{{A'\left( t \right)}}{{A\left( t \right)}} = \frac{\rm{d}}{\rm{d}t}\ln A\left( t \right) \end{array}$$

即

$$\delta_t = \frac{a'(t)}{a(t)} \Leftrightarrow \int_0^t \delta_r \rm{d}r = \int_0^t [lna(r)]'\rm{d}r = lna(t) - lna(0)=lna(t) \Rightarrow a(t) =e^{\int_0^t\delta_r \rm{d}r}$$

于是可以得出积累值为:

$$A(t)=ka(t)=ke^{\int_0^t \delta_r \rm{d}r}$$
利息为：
$$I_n=A(n)-A(n-1)$$

利息强度的理解：利息强度将利息由离散的状态转化成了连续的状态，即利用利息强度可以计算每时每刻的积累值。

利息强度与利率的关系：

若 $\delta_t = \delta$ , 则 $a(n) = e^{\int_0^n \delta_r \rm{d}r} = e^{n\delta}$, 于是

$$i_n = \frac{a(n)-a(n-1)}{a(n-1)} = e^{\delta} -1$$

利息强度与实际利率、实际贴现率的关系。。

若利息强度为常数，则$i=e^{\delta}-1 \Leftrightarrow \delta = ln(1+i)$;$\delta = ln(1+i) \Leftrightarrow 1+i = e^{-\delta}=\frac{1} {1+i} \Leftrightarrow e^{-\delta} = v = 1-d$

利息强度与名义利率、贴现率关系

$\delta = ln(1+i) \Leftrightarrow e^{\delta} =1+i=\left (1+\frac{i^{(m)}}{m} \right)^m \Leftrightarrow e^{\delta} =\left (1+\frac{i^{(m)}}{m} \right)^m$; $\delta = \delta_t =\frac{a’(t)}{a(t)} = \frac{1}{a(t)} \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{a(t+h)-a(t)}{h}=i= \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty} i^{(m)}$;

$e^{-\delta} = 1-d =\left (1-\frac{d^{(m)}}{m} \right )^m \Leftrightarrow e^{\delta} = \left (1-\frac{d^{(m)}}{m} \right )^{-m}$;

从上式得出：$1+\frac{i^{(m)}}{m} = \left (1-\frac{d^{(m)}}{m} \right )^{-1} \Leftrightarrow d^{(m)} = i^{(m)} +$.

本章总结

在第一章中，主要学习的一些例如实际利率、实际贴现率、名义利率、名义贴现率、利息强度等概念以及如何计算的相关知识，现在将一些重要的公式列表如下:

内容总结	数学公式表示
1.本金为1的积累值	$a(t)$
2.本金为$k$的积累值	$A(t)=ka(t)$
3.第$n$个时期的利息金额	$I_n = A(n)-A(n-1)$
4.第$n$个时期的实际利率	$i_n = \frac{A(n) - A(n-1)}{A(n-1)} = \frac{I_n}{A(n-1)}$
5.单利的积累值	$a(t) = 1+i\times t$
6.复利的积累值	$a(t) = (1+i)^t$
7.实际贴现率	$d_n = \frac{A(n) - A(n-1)}{A(n)} = \frac{I_n}{A(n)}$
8.名义利率与实际利率	$1+i = \left ( 1 + \frac{i^{(m)}}{m} \right ) ^m$
$i = \left ( 1 + \frac{i^{(m)}}{m} \right )^m -1$,$i^{(m)} = m [ (1+i)^{\frac{1}{m}} - 1]$
9.名义贴现率	$1-d = \left ( 1 - \frac{d^{(m)}}{m} \right )^m$
$d^{(m)} = m [ 1 - (1-d)^{\frac{1}{m}}] = m(1-v^{\frac{1}{m}})$
10.名义贴现率与实际贴现率之间的关系	$\left ( 1 + \frac{i^{(m)}}{m} \right )^m = 1 + i =\left ( 1 - \frac{d^{(p)}}{p} \right )^{-p}$
11.利息强度	$\delta_t = \frac{A'(t)}{A(t)} = \frac{a'(t)}{a(t)}$
变形	$\delta_t = \frac{\rm{d}}{\rm{d}t}lnA(t)$