保险精算笔记Chapter02

第二章 年金

引言

• 谷歌员工因意外去世后，其配偶可以在10年之后内继续领取去世员工生前50%的薪水。

• 常用住房按揭贷款还款方式主要有等额本息还款、等额本金还款。

年金(Annuity)就是指间隔一定时间支付一次的系列付款。

• 确定年金(Annuities-certain)：指每个间隔点上都按既定数额支付款项的年金。住房按揭贷款、购物分期付款等. 确定年金一般分为基本年金和一般年金。基本年金：1.时间间隔相等；2.付款频率和计息频率一致；3.每次付款金额相等；4.每期利率相等。不满足上述4个条件的年金就是一般年金。

• 不确定年金(Contingent Annuity)：指每个间隔点上按照一定条件决定是否付款的年金。生存年金(Life Annuity)

• 按付款时刻，确定年金分为期初年金和期末年金。

• 按付款期限，确定年金分为有限年金和永续年金

本章概览：

• 期末年金、期初年金
• 任意时刻的年金值
• 永续年金
• 连续年金

一、期末付、期初付年金

概念

设每年间隔一期付款 $1$次，以利率 $i$计息 $1$次，每期期末(初)付款 $1$单位，共付款 $n$期，成为 $n$期期末(初)付年金。

所有 $n$次 $1$单位付款在时刻 $0$的现值之和称为年金的现值，在时刻 $n$的积累值之和称为年金的积累值或终值。

折算到现在，折算到第 $n$期，即一个在现在来看，一个从未来来看。

期末付年金的现值和终值

• 现值 ${a_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} = v+v^2+\cdots+v^n=\frac{v(1-v^n)}{1-v}=\frac{v(1-v^n)}{d}=\frac{v(1-v^n)}{iv}=\frac{1-v^n}{i},v=\frac{1}{1+i}$
  ${a_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} =\frac{1-v^n}{i}$

• 终值 $S_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| } =1+(1+i)+\cdots+(1+i)^{n-1}=\frac{1-(1+i)^n}{1-(1+i)}=\frac{(1+i)^n-1}{i}$
  $S_{\left. {\overline {\,n\,}}\! \right| }=\frac{(1+i)^n-1}{i}$

• 关系：
  ${a_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} \times (1+i)^n=S_{\left. {\overline {\,n\,}}\! \right| }$

期初付年金的现值和终值

${\ddot a_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }}=1+v+\cdots+v^{n-1}=\frac{1-v^n}{1-v}=\frac{1-v^n}{d}$

${\ddot S_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }}=(1+i)+(1+i)^2+\cdots+(1+i)^n=\frac{(1+i)[ 1-(1+i)^n]}{1-(1+i)} = \frac{(1+i)^n-1}{d}$

• 关系：
  ${\ddot a_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }}\times(1+i)^n={\ddot S_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }}$

期末付、期初付年金现值之间的换算

$\ddot a_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }=a_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }\times(1+i)$

$\ddot a_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }=a_{\left. {\overline {\, n-1 \,}}\! \right| }+1$

$\ddot S_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }=S_{\left. {\overline {\,n\,}}\! \right| }\times(1+i)$

$\ddot S_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }=S_{\left. {\overline {\,n+1\,}}\! \right| }-1$

见 $P_{23}$

例子：某银行客户想通过零存整取的方式在 $1$年后得到 $10000$元，在复利为 $0.5\%$的情况下，每个月需要存入多少钱？
解答：设每月末存入 $D$元，则有： $D\times S_{\left. {\overline {\, 12 \,}}\! \right| }=10000,\Leftrightarrow D=\frac{1}{(1+i)^{12}-1}\times 10000=810.6643$

二、任意时刻的年金

问题提出

首期付款前某时刻的年金？付款期间某时刻的年金值？

首期付款前某时刻的年金

• 折现法 看成期末付年金： $V=v^{m-1}a_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }$ 看成期初付年金： $V=v^{m-1} \ddot a_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }$

• 叠加法： $V=a_{\left. {\overline {\, m+n-1 \,}}\! \right| }-a_{\left. {\overline {\, m-1 \,}}\! \right| }$, $V=\ddot a_{\left. {\overline {\, m+n \,}}\! \right| }-\ddot a_{\left. {\overline {\, m \,}}\! \right| }$

• 积累法：看成期末付：$V=(1+i)^m S_{\left. {\overline {,
  n,}}! \right| } $,看成期初付：$V=(1+i)^{m-1} \ddot S_{\left. {\overline {,
  n,}}! \right| } $

• 叠加法： $V=S_{\left. {\overline {\, m+n \,}}\! \right| }-S_{\left. {\overline {\, m \,}}\! \right| }$

• 先折现后积累：看成期末付： $V=(1+i)^{m+1} a_{\left. {\overline {\, n\,}}\! \right| }$, 看成期初付： $V=(1+i)^{m} \ddot a_{\left. {\overline {\, n\,}}\! \right| }$

• 先积累后折现： $V=v^{n-m-1}S_{\left. {\overline {\, n\,}}\! \right| }$, $V=v^{n-m} \ddot S_{\left. {\overline {\, n\,}}\! \right| }$

• 叠加法： $V=S_{\left. {\overline {\, m+1\,}}\! \right| }+a_{\left. {\overline {\,n-m-1\,}}\! \right| }$, $V=\ddot S_{\left. {\overline {\,m\,}}\! \right| }+\ddot a_{\left. {\overline {\,n-m\,}}\! \right| }$

三、永续年金(Perpetuity)

是指每间隔一期付款 $1$次，但付款次数没有限制的年金。公司股票中优先股的固定红利、基金会的基金利息都是永续年金的形式。

期初付永续年金的现值

$\ddot a_{\left. {\overline {\, \infty\,}}\! \right| } = 1+v+v^2+\cdots=\frac{1}{1-v}=\frac{1}{1-v}=\frac{1}{d}$

期末付永续年金的现值

$a_{\left. {\overline {\, \infty\,}}\! \right| } = v+v^2+\cdots=\frac{1}{1-v}=\frac{v}{1-v}=\frac{v}{d}=\frac{v}{iv}=\frac{1}{i}$

与有限年金的联系

${{\ddot a}_{\left. {\overline {\, \infty \,}}\! \right| }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{\ddot a}_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 - {v^n}}}{d} = \frac{1}{d}$

${a_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} = \frac{{1 - {v^n}}}{i} = \frac{1}{i} - {v^n}\frac{1}{i} = {a_{\left. {\overline {\, \infty \,}}\! \right| }} - {v^n}{a_{\left. {\overline {\, \infty \,}}\! \right| }} \Leftrightarrow {a_{\left. {\overline {\, \infty \,}}\! \right| }} = {a_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} + {v^n}{a_{\left. {\overline {\, \infty \,}}\! \right| }}$

对期初付年金也有相应的关系： ${{\ddot a}_{\left. {\overline {\, \infty \,}}\! \right| }} = {{\ddot a}_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} + {v^n}{{\ddot a}_{\left. {\overline {\, \infty \,}}\! \right| }}$

例子：某人去世后，保险公司将支付 $100000$元的保险金，其三个受益人经协商，决定按永续年金的方式领取该笔款项：受益人 $A$领取前 $8$年的年金，受益人 $B$将领取以后 $10$年的年金，然后由受益人 $C$领取以后的所有年金。假设所有的年金领取都在年初领取。保险公司的预定利率为 $6.5\%$。计算 $A,B,C$各自所领取的保险金金额。 $P_{28}$

四、连续年金

一期计息一次，每期付款无限多次的年金叫做连续年金。属于一般年金。

• 现值： ${{\bar a}_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} = \int_0^n {v^n} \rm{d}t = \frac{1-v^n}{\delta}=\frac{1-e^{-n \delta}}{\delta},ref:\delta =\ln (1+i)$

• 终值： ${{\bar S}_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }}=\int_0^n (1+i)^{n-t} \rm{d}t =\frac{(1+i)^n}{\delta}=\frac{e^{n \delta}}{\delta}$

例子：有两个连续还款模型 $A,B$. $A$每期还款 $2$, 还款期限为 $20$年, $B$每期还款 $3$, 还款期限为 $10$年. 求使 $A,B$等效的 $\delta$.
分析：等效也就意味着这两个模型的现值相等，因此有 $2\frac{1-v^{20}}{\delta}=2\frac{1-e^{-20\delta}}{\delta}=3\frac{1-v^{10}}{\delta}=3\frac{1-e^{-10\delta}}{\delta}$, 解出即可.

小结

本章主要学习了年金的概念. 简单来讲, 年金就是一定期间内等额支付的付款额。有关年金的概念主要有：期初年金、期末年金、现值、终值以及连续年金、任意时刻的年金等等. 计算年金的方法与第一章的利息的计算类似, 只要把握住其内涵即可, 不论是离散型的年金还是连续型的年金, 其计算并不难, 把书中的相关内容仔细看一看, 特别是一些数学公式的推导, 是如何推导出来的, 以及书上给出的具体的例子, 例子的作用就是能够具体表达出抽象的数学公式所蕴含的含义. 可以用下面的表格来总结一下本章的主要内容:

主要内容	数学公式
期末付年金的现值	$\frac{1 - v^n}{i}$
期末付年金终值	$\frac{(1+i)^n-1}{i}$
期末付现值和终值之间的关系	$PV(1+i)^n=FV$
期初付的年金现值	$\frac{1 - {v^n}}{d}$
期初付年金终值	$\frac{(1+i)^n-1}{d}$
关系	$PV(1+i)^n=FV$
任意时刻的年金	根据公式灵活转换
连续年金	即取极限后的年金, 用到极限与微积分的知识