上下三角矩阵

上三角矩阵
主对角线以下都是零的方阵称为上三角矩阵。上三角矩阵具有行列式为对角线元素相乘、上三角矩阵乘以系数后也是上三角矩阵、上三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上三角矩阵等性质。
若矩阵U具有下列形式：

则称为上三角矩阵

上三角矩阵的性质：
1）上三角矩阵的行列式为对角线元素相乘；
2）上三角矩阵乘以系数后也是上三角矩阵；
3）上三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上三角矩阵；
4）上三角矩阵的逆矩阵也仍然是上三角矩阵。
这些事实说明：所有上三角矩阵的集合以及相应的运算构成一个方形矩阵集合的一个子代数。

下三角矩阵
一个矩阵称为下三角矩阵如果对角线上方的元素全部为0。类似地，一个矩阵称为上三角矩阵如果对角线下方的元素全部为0。

定义：若矩阵L具有下列形式：

则称为下三角矩阵

性质：
许多矩阵运算保持下三角性不变，实际上以下性质对上三角矩阵也成立
1）两个下三角矩阵的和下三角。
2）两个下三角矩阵的乘积是下三角。
3）一个可逆的下三角矩阵的逆是下三角。
4）下三角矩阵与常数相乘是一个下三角矩阵。

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