任意n阶矩阵与三角矩阵相似

用归纳法证明：

n=1时命题成立

假设n=k-1时命题成立

证明n=k时命题成立

 

设为k阶矩阵，且Ak∈，它的特征多项式为

设为中的k个线性无关的列向量，其中为特征值所对应的特征向量。

即

记

则

由于,所以可由线性表出。

即

于是

等式两边同左乘可得

有归纳法的假设：n=k-1时命题成立，可得

记 ，

则

综上，命题得证。

由证明过程可知，即使A不满秩依然有相似的上三角矩阵，只是对角线上的（n-r）个特征值为零。

参考书籍：《矩阵论》第四版，西北工业大学出版社；程云鹏等。