综述
在计算广告中，CTR是非常重要的一环。对于特征组合来说，业界通用的做法主要有两大类：FM系列和Tree系列。这里我们来介绍一下FM系列。
在传统的线性模型中，每个特征都是独立的，如果需要考虑特征与特征之间的相互作用，可能需要人工对特征进行交叉组合。非线性SVM可以对特征进行核变换，但是在特征高度稀疏的情况下，并不能很好的进行学习。现在有很多分解模型可以学习到特征之间的交互隐藏关系，基本上每个模型都只适用于特定的输入和场景。推荐系统是一个高度系数的数据场景，由此产生了FM系列算法。
本文主要涉及三种FM系列算法：FM，FFM，DeepFM
一、FM算法（Factorization Machines）
背景
FM(Factorization Machine)主要是为了解决数据稀疏的情况下，特征怎样组合的问题。已一个广告分类的问题为例，根据用户与广告位的一些特征，来预测用户是否会点击广告。数据如下：
对于ctr点击的分类预测中，有些特征是分类变量，一般进行one-hot编码，以下是对组合特征的one-hot：
one-hot会带来数据的稀疏性，使得特征空间变大。
另外，对于普通的线性模型，我们将各个特征独立考虑，并没有考虑特征与特征之间的关系，因此有很多方法对特征进行组合，数据模型上表达特征xi，xj的组合用xixj表示，即所说的多项式模型，通常情况下只考虑两阶多项式模型，也就是特征两两组合的问题，模型表达如下：
y=w0+∑i=1nwixi+∑i=1n−1∑j=i+1nwijxixjy=w0+∑i=1nwixi+∑i=1n−1∑j=i+1nwijxixj
其中n表示样本的特征数量，这里的特征是离散化后的特征。与线性模型相比，FM的模型多了后面的特征组合的部分。
FM求解
Wij求解的思路是通过矩阵分解的方法，为了求解Wij，我们队每一个特征分量xi引入辅助向量Vi=(vi1,vi2,...,vik)Vi=(vi1,vi2,...,vik)
然后用vivTjvivjT对wijwij进行求解
从上式可以看出二项式的参数数量由原来的n(n−1)2n(n−1)2个减少为nk个wik，远少于多项式模型的参数数量。另外，参数因子化使得xhxixhxi的参数和xhxjxhxj的参数不再相互独立，因为有了xhxh特征关联。因此我们可以在样本系数的情况下相对合理地估计FM的二次项参数。
具体来说，xhxixhxi和xhxjxhxj的系数分别为<vh,vivh,vi>,<vh,vjvh,vj>,它们之间的共同项vi,因此所有包含xi的非零组合特征的样本都可以用来学习隐向量vi，很大程度上避免了数据稀疏性造成的影响。
求解<vi,vjvi,vj>，主要采用公式(a+b+c)2−a2−b2−c2(a+b+c)2−a2−b2−c2求出交叉项，具体过程如下：
FM的复杂度为O(kn2)O(kn2)，通过上述等式，FM的二次项化简为只与vi,fvi,f有关的等式。因此，FM可以在线性时间对新样本做出预测，复杂度和LR模型一样，且效果提升不少。
在训练FM是，加入使用SGD来优化模型，训练时各个参数的梯度如下：
∑nj=1vj,fxj∑j=1nvj,fxj只与f有关，只要求出一次所有的f元素，就能够计算出所有vi,fvi,f的梯度，而f是矩阵V中的元素，计算复杂度为O(kn)。当已知∑nj=1vj,fxj∑j=1nvj,fxj时计算每个参数梯度的复杂度是O(1)，更新每个参数的复杂度为O(1)，因此训练FM模型的复杂度也是O(kn)
扩展到多维，模型表达式为：
FM vs SVM
SVM和FM的主要区别在于：
- SVM的二元特征交叉参数是独立的，而FM的二元特征交叉参数是两个k维的向量vi、vj，交叉参数就不是独立的，而是相互影响的。
- FM可以在原始形式下进行优化学习，而基于kernel的非线性SVM通常需要在对偶形式下进行
- FM的模型预测是与训练样本独立，而SVM则与部分训练样本有关，即支持向量
为什么线性SVM在和多项式SVM在稀疏条件下效果会比较差呢？线性svm只有一维特征，不能挖掘深层次的组合特征在实际预测中并没有很好的表现；而多项式svn正如前面提到的，交叉的多个特征需要在训练集上共现才能被学习到，否则该对应的参数就为0，这样对于测试集上的case而言这样的特征就失去了意义，因此在稀疏条件下，SVM表现并不能让人满意。而FM不一样，通过向量化的交叉，可以学习到不同特征之间的交互，进行提取到更深层次的抽象意义。
参考：
1. https://blog.csdn.net/jiangjiang_jian/article/details/80631180
2. https://www.csie.ntu.edu.tw/~b97053/paper/Rendle2010FM.pdf
3.https://www.csie.ntu.edu.tw/~b97053/paper/Factorization%20Machines%20with%20libFM.pdf
3. https://blog.csdn.net/tiangcs/article/details/76601643?locationNum=9&fps=1
4. https://www.cnblogs.com/AndyJee/p/7879765.html
二、FFM算法（Field-aware Factorization Machine）
在CTR预估中，通常会遇到one-hot类型的变量，会导致数据特征的稀疏。未解决这个问题，FFM在FM的基础上进一步改进，在模型中引入类别的概念，即field。将同一个field的特征单独进行one-hot，因此在FFM中，每一维特征都会针对其他特征的每个field，分别学习一个隐变量，该隐变量不仅与特征相关，也与field相关。
假设样本的n个特征属于f个field，那么FFM的二次项有nf个隐向量。而在FM模型中，每一维特征的隐向量只有一个。FM可以看做FFM的特例，把所有特征都归属到一个field的FFM模型。其模型方程为：
y(X)=w0+∑i=1nwixi+∑i=1n∑j=i+1n<Vi,fj,Vj,fi>xixjy(X)=w0+∑i=1nwixi+∑i=1n∑j=i+1n<Vi,fj,Vj,fi>xixj
如果隐向量的长度为k，那么FFM的二次参数有nfk个，远多于FM模型的nk个。
FFM实现
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损失函数
FFM将问题定义为分类问题，使用的是logistic loss，同时加入正则项minw∑i=1Llog(1+exp(−yiϕ(w,xi)))+λ2||w||2minw∑i=1Llog(1+exp(−yiϕ(w,xi)))+λ2||w||2
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梯度下降
梯度下降方法有很多种，根据为提高效率分别衍生了批量梯度下降，随机梯度下降及小批量梯度下降，根据需求选择即可
FFM应用
在DSP或者推荐场景中，FFM主要用来评估站内的CTR和CVR，即一个用户对一个商品的潜在点击率和点击后的转化率。
CTR和CVR预估模型都是在线下训练，然后线上预测。两个模型采用的特征大同小异，主要分三类：
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用户相关的特征
年龄、性别、职业、兴趣、品类偏好、浏览/购买品类等基本信息，以及用户近期点击量/购买量/消费额等统计信息 -
商品相关的特征
商品所属品类、销量、价格、评分、历史CTR/CVR等信息 -
用户-商品匹配特征
浏览/购买品类匹配、浏览/购买商家匹配、兴趣偏好匹配等
为了使用FFM方法，所有的特征必须转换成“field_id:feat_id:value”格式，field_id代表特征所属field的编号，feat_id是特征编号，value是特征的值。数值型的特征比较容易处理，只需分配单独的field编号，如用户评论得分、商品的历史CTR/CVR等。categorical特征需要经过One-Hot编码成数值型，编码产生的所有特征同属于一个field，而特征的值只能是0或1，如用户的性别、年龄段，商品的品类id等。除此之外，还有第三类特征，如用户浏览/购买品类，有多个品类id且用一个数值衡量用户浏览或购买每个品类商品的数量。这类特征按照categorical特征处理，不同的只是特征的值不是0或1，而是代表用户浏览或购买数量的数值。按前述方法得到field_id之后，再对转换后特征顺序编号，得到feat_id，特征的值也可以按照之前的方法获得。
【举例说明】
- 原始数据：
-
特征编号：
-
特征组合：
在训练FFM的过程中，有许多小细节值得特别关注。
- 样本归一化：FFM默认是进行样本数据的归一化，即 为真；若此参数设置为假，很容易造成数据inf溢出，进而引起梯度计算的nan错误。因此，样本层面的数据是推荐进行归一化的。
- 特征归一化：CTR/CVR模型采用了多种类型的源特征，包括数值型和categorical类型等。但是，categorical类编码后的特征取值只有0或1，较大的数值型特征会造成样本归一化后categorical类生成特征的值非常小，没有区分性。例如，一条用户-商品记录，用户为“男”性，商品的销量是5000个（假设其它特征的值为零），那么归一化后特征“sex=male”（性别为男）的值略小于0.0002，而“volume”（销量）的值近似为1。特征“sex=male”在这个样本中的作用几乎可以忽略不计，这是相当不合理的。因此，将源数值型特征的值归一化到 是非常必要的。
- 省略零值特征：从FFM模型的表达式可以看出，零值特征对模型完全没有贡献。包含零值特征的一次项和组合项均为零，对于训练模型参数或者目标值预估是没有作用的。因此，可以省去零值特征，提高FFM模型训练和预测的速度，这也是稀疏样本采用FFM的显著优势。
参考：
1. https://www.jianshu.com/p/781cde3d5f3d
2. https://blog.csdn.net/u012102306/article/details/51322194
三、DeepFM
FM通过对于每一位特征的隐变量内积来提取特征组合，最后的结果也不错，虽然理论上FM可以对高阶特征组合进行建模，但实际上因为计算复杂度原因，一般都只用到了二阶特征组合。对于告诫特征组合来说，我们很自然想到多层神经网络DNN。
FM的结构
DNN结构
DeepFM结构
FM和DNN的特征结合
DeepFM目的是同时学习低阶和高阶的特征交叉，主要由FM和DNN两部分组成，底部共享同样的输入。模型可以表示为：
y^=sigmoid(yFM+yDNN)y^=sigmoid(yFM+yDNN)
FM部分
原理如上，数学表达为
yFM=<w,x>+∑i=1d∑j=i+1d<Vi,Vj>xi⋅xjyFM=<w,x>+∑i=1d∑j=i+1d<Vi,Vj>xi⋅xj
Deep部分
深度部分是一个前馈神经网络，与图像或语音类的输入不同，CTR的输入一般是极其稀疏的，因此需要重新设计网络结构。在第一层隐藏层之前，引入一个嵌入层来完成输入向量压缩到低位稠密向量：
嵌入层的结构如上图所示，有两个有趣的特性：
1） 尽管不同field的输入长度不同，但是embedding之后向量的长度均为k
2） 在FM中得到的隐变量VikVik现在作为嵌入层网络的权重
嵌入层的输出为a(0)=[e1,e2,...,em]a(0)=[e1,e2,...,em]，其中eiei是嵌入的第i个filed，m是field的个数，前向过程将嵌入层的输出输入到隐藏层为
a(l+1)=σ(W(l)a(l)+b(l))a(l+1)=σ(W(l)a(l)+b(l))
其中l是层数，σσ是激活函数，W(l)W(l)是模型的权重，b(l)b(l)是l层的偏置
因此，DNN得预测模型表达为：
yDNN=W|H|+1⋅a|H|+b|H|+1yDNN=W|H|+1⋅a|H|+b|H|+1
|H|为隐藏层层数
模型对比
有学者将DeepFM与当前流行的应用于CTR的神经网络做了对比
从预训练，特征维度以及特征工程的角度进行对比，发现
从实验效果来看，DeepFM的效果较好
参考：
1. https://arxiv.org/pdf/1703.04247.pdf
2. https://www.jianshu.com/p/6f1c2643d31b
3. https://blog.csdn.net/zynash2/article/details/79348540
4. https://blog.csdn.net/zynash2/article/details/79360195
实践参考：https://blog.csdn.net/john_xyz/article/details/78933253
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