FM 因子分解
FM算法可以在线性时间内完成模型训练, 是一个非常高效的模型。FM最大特点和优势：FM模型对稀疏数据有更好的学习能力，通过交互项可以学习特征之间的关联关系，并且保证了学习效率和预估能力。
One-Hot编码的特点: 大部分样本的特征比较稀疏; 特征空间大。
通过观察大量的样本数据可以发现，某些特征经过关联之后，与label之间的相关性就会提高。如：“USA”与“Thanksgiving”、“China”与“Chinese New Year”这样的关联特征，对用户的点击有着正向的影响。
多项式模型是包含特征组合的最直观的模型。考虑到计算效率, 我们只讨论二阶多项式模型。
\[ y(x)=w_0+\sum_{i=1}^nw_ix_i+\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^nw_{ij}x_ix_j \]
从这个公式可以看出，组合特征的参数一共有\(n(n−1)\over 2\)个，任意两个参数都是独立的。当组合特征的样本数不充足时, 学习到的参数将不准确, 从而会严重影响模型预测的效果（performance）和稳定性。
那么，如何解决二次项参数的训练问题呢？矩阵分解提供了一种解决思路。在Model-based的协同过滤中，一个rating矩阵可以分解为user矩阵和item矩阵，每个user和item都可以采用一个隐向量表示。矩阵W就可以分解为 \(W=V^TV\)，V 的第j列便是第 j 维特征的隐向量。每个参数 \(w_{ij}=⟨v_i,v_j⟩\)，这就是FM模型的核心思想。因此，FM的模型方程为
\[ y(x)=w_0+\sum _{i=1}^nw_ix_i+\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n⟨vi,vj⟩x_ix_j \\ ⟨v_i,v_j⟩=\sum_{f=1}^kv_{i,f}·v_{j,f} \]
隐向量的长度为k(k<<n)，包含k个描述特征的因子。
上边这个公式是一个通用的拟合方程，可以采用不同的损失函数用于解决回归、二元分类等问题，比如可以采用MSE（Mean Square Error）损失函数来求解回归问题，也可以采用Hinge、Cross-Entropy损失来求解分类问题。当然，在进行二元分类时，FM的输出需要经过Sigmoid变换，这与Logistic回归是一样的。
当前的FM公式的复杂度是\(\mathcal O(kn^2)\)，但是，通过下面的等价转换，可以将FM的二次项化简，其复杂度可以优化到\(\mathcal O(kn)\)，即：
\[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n⟨v_i,v_j⟩x_i,x_j=\frac{1}{2}\sum_{f=1}^k[(\sum_{i=1}^nv_{i,f}x_i)^2-\sum_{i=1}^nv_{i,f}^2x_i^2] \]
详细推导：
\[ \begin{align} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n⟨v_i,v_j⟩x_ix_j \\ =&\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n⟨v_i,v_j⟩x_ix_j-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n⟨v_i,v_i⟩x_ix_i \\ =&\frac{1}{2}(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{f=1}^kv_{i,f}v_{j,f}x_ix_j-\sum_{i=1}^n\sum_{f=1}^kv_{i,f}v_{i,f}x_ix_i) \\ =&\frac{1}{2}\sum_{f=1}^k[(\sum_{i=1}^nv_{i,f}x_i)·(\sum_{j=1}^nv_{j,f}x_j)-\sum_{i=1}^nv_{i,f}^2x_i^2] \\ =&\frac{1}{2}\sum_{f=1}^k[(\sum_{i=1}^nv_{i,f}x_i)^2- \sum_{i=1}^nv_{i,f}^2x_i^2] \end{align} \]
FM模型的核心作用可以概括为以下三个：
- FM降低了交叉项参数学习不充分的影响：one-hot编码后的样本数据非常稀疏，组合特征更是如此。为了解决交叉项参数学习不充分、导致模型有偏或不稳定的问题。作者借鉴矩阵分解的思路：每一维特征用k维的隐向量表示，交叉项的参数\(w_{ij}\)用对应特征隐向量的内积表示，即\(⟨v_i,v_j⟩\)。这样参数学习由之前学习交叉项参数\(w_{ij}\)的过程，转变为学习n个单特征对应k维隐向量的过程。
- FM提升了模型预估能力。可以用于预估训练集中没有出现过的特征组合项.
- FM提升了参数学习效率：是在多项式模型基础上对参数的计算做了调整，成为线性复杂度. 从交互项的角度看，FM仅仅是一个可以表示特征之间交互关系的函数表法式，可以推广到更高阶形式，即将多个互异特征分量之间的关联信息考虑进来。例如在广告业务场景中，如果考虑User-Ad-Context三个维度特征之间的关系，在FM模型中对应的degree为3。
与其他模型相比，它的优势如下：
- FM是一种比较灵活的模型，通过合适的特征变换方式，FM可以模拟二阶多项式核的SVM模型、MF模型、SVD++模型等；
- 相比SVM的二阶多项式核而言，FM在样本稀疏的情况下是有优势的；而且，FM的训练/预测复杂度是线性的，而二项多项式核SVM需要计算核矩阵，核矩阵复杂度就是N平方。
FFM（场感知分解机,Field-aware Factorization Machine）
FM的缺点: 由于需要两两组合特征, 这样任意两个交叉特征之间都有了直接或者间接的关联, 因此任意两组特征交叉组合的隐向量都是相关的, 这实际上限制了模型的复杂度. 但是如果使得任意一对特征组合都是完全独立的, 这与通过核函数计算特征交叉类似, 有着极高的复杂性和自由度, 模型计算十分复杂. FFM正好介于这两者之间.
FFM引入特征组(field)的概念来优化此问题. FFM把相同性质的特征归于同一个field, 按照级别分别计算当前特征与其它field的特征组合时的特征向量, 这样特征组合的数量将大大减少.
假设样本的 n 个特征属于 f 个field，那么FFM的二次项有 nf个隐向量。而在FM模型中，每一维特征的隐向量只有一个。FM可以看作FFM的特例，是把所有特征都归属到一个field时的FFM模型。FFM模型方程如下:
\[ y(x)=w_0+\sum_{i=1}^nw_ix_i+\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n⟨v_{i,fj},v_{j,f_i}⟩x_ix_j \\ \]
如果隐向量长度为k, 那么FFM的二次项参数就有nfk个,远多余FM的nk个.
由于FFM的任意两组交叉特征的隐向量都是独立的, 可以取得更好的组合效果, 这也使得FFM二次项并不能够化简，其复杂度为\(\mathcal O(kn^2)\)。
权重求解:
libFFM的实现中采用的是AdaGrad随机梯度下降方法. 并且在FFM公式中省略了常数项和一次项，模型方程如下:
\[ ϕ(w,x)=\sum_{j1,j2∈C_2}⟨w_{j_1,f_2},w_{j_2,f_1}⟩x_{j_1}x_{j_2} \]
其中，C2是非零特征的二元组合，j1是特征，属于field f1，\(w_{j_1,f_2}\)是特征 j1对field f2 的隐向量。此FFM模型采用logistic loss作为损失函数，和L2惩罚项，因此只能用于二元分类问题。
\[ \underset{w}{\min}\sum_{i=1}^n\log(1+\exp{−y_iϕ(w,x_i)})+\frac{λ}{2}‖w‖^2 \]
FM/FFM与其它模型对比
- vs 神经网络. 神经网络难以直接处理高维稀疏的离散特征, 因为这导致神经元的连接参数太多. 而因子分解机可以看作对高维稀疏的离散特征做嵌入(Embedding).
- vs 梯度提升树. 当数据不是高度稀疏时,梯度提升树可以有效地学习到比较复杂的特征组合; 但是在高度稀疏的数据中, 特征二阶组合的数量超过样本的模式数量, 因而梯度梯度提升树无法学习到这种高阶组合.