已知$z_1=2\sqrt{3}i,z_2=3,z_3=-3,|z_3-z_4|=2\sqrt{3},$则$|z_1-z_4|+|z_2-z_4|$的最小值为_____
提示:费马点最小,取$Z_4(0,\sqrt{3})$为$\Delta Z_1Z_2Z_3$的费马点. 此时$|z_3-z_4|=2\sqrt{3}$
故$|z_1-z_4|+|z_2-z_4|\ge3\sqrt{3}$
注:只有这些很对称特殊的点的费马点可以坐标写出,一般的已知三个点的坐标求费马点的坐标的公式没有.
练习:设$z$为复数,$k$为实数,且$|z+2016|+|z+2017+ki|+|z+2018|$的最小值为$\sqrt{3}+1$则$k=$_____
提示:费马点,记$A(-2016,0),B(-2017,-k),C(-2018,0)$令$\angle{CZA}=120^{o}$
则$|BZ|=\sqrt{3}+1-\dfrac{2}{\sqrt{3}}*2=|k|-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$得,$k=\pm 1$