静态点分治学习笔记

• 处理树上路径问题。

• 填以前的坑。

  静态点分治。

• 点分治的核心思想就是分治，每次选取树的重心把树分成两个部分。
• 在这里，树的重心的定义是指以他为根，最大子树\(sz\)最小。
• 然后每次划分就只考虑经过树的重心的路径。

• 因为每次划分都至少把树分成一半，所以复杂度就是\(log\)了。
• 得到重心：

void Getroot(R i,R fm){
    sz[i]=1;R num=0;
    for(R k=hd[i];k;k=nt[k]){
        if(to[k]==fm||vis[to[k]])continue;
        Getroot(to[k],i),sz[i]+=sz[to[k]];
        num=max(num,sz[to[k]]);
    }
    num=max(num,tot-sz[i]);
    if(num<Max)Max=num,root=i;
}

• 注意这里的重心是划分出来的一个树，应该可以理解成一个联通块。
• \(vis\)就是已经划分过的割点，不能走了。
• \(num\)表示最大的子树，\(tot\)是这个子树大小。

num=max(num,tot-sz[i]);

• 注意到这一句，这个以这个点为根的子树最大值，是本来的子树大小，和联通块大小减去子树大小的最大值。
• 然后所有的点取最小的点即可。

第一种写法：

• 跳点分治树：

void Dfs(R i,R fm){
    sol(i,0,1),vis[i]=1;
    for(R k=hd[i];k;k=nt[k]){
        if(to[k]==fm||vis[to[k]])continue;
        sol(to[k],w[k],-1),tot=sz[to[k]],Max=inf;
        Getroot(to[k],0),Dfs(root,0);
    }
}

• \(sol\)的含义就是求解答案，每个题目不一样。
• 因为现在的\(i\)一定是重心，\(vis[i]=1\)就相当于把树隔开了。

• 然后枚举所有的儿子，再把一个儿子中的贡献减去。

  注意：

• 我们考虑的是经过重心的路径，但是可以发现，对于一个重心\(i\)，两个点在同一个子树内，那么路径是不会经过\(i\)的。然后我们单独把这个子树内的答案剪掉。注意，此时每个点的初始长度都是\(w_k\)，这样才可以正确剪掉原来被重复统计的路径。
• 然后初始化\(tot\),\(Max\)，得到每一个子树根，然后再跳点分树。
• 每一次统计答案可能要清空。

• 例题 P2634 [国家集训队]聪聪可可

  第二种写法：

• 对于最大值/最小值，不好删去重复的贡献（方案类问题是很好删除的，就是直接剪掉即可，但是最大值你不好删掉，因为不好维护次大值。）
• 跳点分树

void Dfs(R i){
    vis[i]=1;
    for(R k=hd[i];k;k=nt[k])
        if(!vis[to[k]])go(to[k],i,1,w[k]),let(to[k],i,1,w[k]);
    for(R k=hd[i];k;k=nt[k])
        if(!vis[to[k]])emp(to[k],i,w[k]);
    for(R k=hd[i];k;k=nt[k]){
        if(vis[to[k]])continue;
        tot=sz[to[k]],rt=0,Mx=n+1;
        Getrt(to[k],0),Dfs(rt);
    }
}

• 同样的，把树隔开。
• 然后对于每一个子树，先考虑他和之前的点两两组合得到的答案（\(go\)函数）
• 然后在保存这个子树中一个答案产生的贡献（\(let\)函数）
• 最后清除筒(\(emp\)函数)
• 然后再分重心。
• 例题：P4149 [IOI2011]Race

题单：

• [x] 点分治1
• [x] Tree
• [x] [国家集训队]聪聪可可
• [x] [IOI2011]Race
• 前面四道都是模板题。
• [ ] [Luogu2664]树上游戏
• [ ] [WC2010]重建计划
• [ ] [HDU4812]D Tree
• [ ] [SPOJ1825]Free tour II
• [ ] [HDU5977]Garden of Eden
• [ ] [HDU5909]Tree Cutting
• [ ] [[Luogu3727]曼哈顿计划E]]
• [ ] P2993 最短路径树问题