点分治学习笔记（洛谷3806）

QwQ点分治这个东西还是很有意思的

点分治主要是用来解决一些树上路径问题

首先，我们要明确点分治的分治标准是重心

什么是重心？

如果以 $x$ 为根，所有子树的最大 $size$ 最小，那么称 $x$ 是这棵树的重心

那么怎么去找重心呢

我们直接 $dfs$ ，然后对于每个点，求一个 $mx[i]$ 表示，以 $i$ 为根的子树的最大的 $siz$

int getroot(int x,int fa)
{
    siz[x]=1;
    mx[x]=0;
    for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
    {
        int p = to[i];
        if (vis[p] || p==fa) continue;
        getroot(p,x);
        siz[x]+=siz[p];
        mx[x]=max(mx[x],siz[p]);
    }
    mx[x]=max(mx[x],n-siz[x]);
    if (mx[x]<mx[root]) root=x;
}

下面，我们来介绍点分治的过程

每次实际上就是重复这样的一个过程

每次找到当前子树的重心，然后求过这个重心的路径的贡献，然后容斥一下，减去会被重复计算的贡献，然后再分别递归当前重心节点的所有子树，重复这个过程

于是每一次找到重心，递归的子树大小是不超过原树大小的一半的，那么递归层数不会超过 $O(logn)$ 层，时间复杂度为 $O(nlogn)$

这个时间复杂度的分析，我是用调和剂数来做的，你考虑对于这个总的循环次数应该 $n+\frac{n}{2}*2 + \frac{n}{4}*4\cdots$ ，如果把n提出来，后面自然就是个 $logn$ ，所以总复杂度是 $O(nlog n)$

那么回到这个题目

我们可以统计出每个长度的路径条数，然后针对询问 $O(1)$ 回答。

很显然的是，我们可以对每个重心开始 $dfs$ ，然后两重循环枚举点，将 $sum[dis[i]+dis[j]]++$ ，可以用上面同样的方法证明这个复杂度是 $O(n^2 logn)$ 的

那么这里就会出现不合法的路径，也就是一条边经过两个的那种，我们只需要把其他点的 $dis+len[i]$ ，这样再枚举点的时候，就强制默认了重复走了那条边，然后把 $sum[dis[i]+dis[j]--$ 就行

一些细节还是直接看代码吧

不过有要注意的地方就是，要把已经计算过的重心打上标记，这样不会在 $dfs$ 的时候，走到其他子树里

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>

using namespace std;

inline int read()
{
   int x=0,f=1;char ch=getchar();
   while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
   while (isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
   return x*f;
}

const int maxn = 1e5+1e2;
const int maxm = maxn*3;

int point[maxn],nxt[maxm],to[maxm];
int dis[maxn],son[maxn],siz[maxn];
int root,n,m,cnt;
int val[maxn];
int num;
int mx[maxn];
int vis[maxn];
int sum[10000000];

void addedge(int x,int y,int w)
{
    nxt[++cnt]=point[x];
    to[cnt]=y;
    val[cnt]=w;
    point[x]=cnt;
}

void insert(int x,int y,int w)
{
    addedge(x,y,w);
    addedge(y,x,w); 
}

int getroot(int x,int fa)
{
    siz[x]=1;
    mx[x]=0;
    for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
    {
        int p = to[i];
        if (vis[p] || p==fa) continue;
        getroot(p,x);
        siz[x]+=siz[p];
        mx[x]=max(mx[x],siz[p]);
    }
    mx[x]=max(mx[x],n-siz[x]);
    if (mx[x]<mx[root]) root=x;
}

void getdis(int x,int fa,int len)
{
    dis[++num]=len;
    for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
    {
        int p = to[i];
        if (p==fa || vis[p]) continue;
        getdis(p,x,len+val[i]);
    }
}

void solve(int x,int len)
{
    num=0;
    getdis(x,0,len);
    if (len!=0)
    {
        for (int i=1;i<=num;i++)
          for (int j=i+1;j<=num;j++)
            sum[dis[i]+dis[j]]--;
    }
    else
    {
        for (int i=1;i<=num;i++)
          for (int j=i+1;j<=num;j++)
            sum[dis[i]+dis[j]]++;
    }
}
void dfs(int x)
{
    vis[x]=1;
    solve(x,0);
    for (int i=point[x];i;i=nxt[i]){
        int p = to[i];
        if (vis[p]) continue;
        solve(p,val[i]);
        root=0;
        n=siz[p];root=0;    
        getroot(p,0);
        //cout<<root<<" "<<sum[2]<<endl;
        dfs(root);
    }
} 

int main()
{
  n=read(),m=read();
  for (int i=1;i<n;i++) {
    int x,y,w;
    x=read(),y=read(),w=read();
    insert(x,y,w);
  }
  mx[root]=2e9;
  getroot(1,0);
  //cout<<root; 
  dfs(root);
  for (int i=1;i<=m;i++)
  {
    int x = read();
    if (sum[x]) cout<<"AYE"<<endl;
    else cout<<"NAY"<<endl; 
  }
  return 0;
}

点分治学习笔记（洛谷3806）

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