【数论总复习第1章快速幂】【习题解析（全）】【待更新】

#10193. 「一本通 6.1 例 1」序列的第 k 个数

裸的等差数列，等比数列

附上公式：等差数列 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ （其中 $d$ 为公差， $n$ 为第几项的项数） $2a_{n}=a_{n+1}+a_{n-1}$

等比数列 $a_{n}=a_{1}\times q^{n-1}$ （其中 $q$ 为公比， $n$ 为第几项的项数） $a_{n}^{2}=a_{n-1} \times a_{n+1}$

还要注意一些取模的问题。做这道题不用想太多，直接做就好了，等比数列都是整除的，不然取模咋个办

应试总结：能开 $\large long$ $\large long$ 的就不要舍不得开，更保险，乘法取模有待进一步深入，不要乱取

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int mod = 200907 ; 

inline int wread(){
    char c=getchar ();int flag=1,wans=0;
    while (c<'0'||c>'9'){if (c=='-') flag=-1;c=getchar ();}
    while (c>='0'&&c<='9'){wans=wans*10+c-'0';c=getchar ();}
    return wans*=flag;
}

int T;
int a,b,c,k;

int fast_cal (int x,int y){
    int ans=1;
    while (y){
        if (y&1)    ans=((long long)(ans%mod)*(long long)(x%mod))%mod;
        x=((long long)(x%mod)*(long long)(x%mod))%mod,y>>=1;
    }
    return ans%mod;
}

int main (){    
    T=wread();
    while (T--){
        a=wread(),b=wread(),c=wread(),k=wread();
        if (a+c==(b<<1)){//等差 
            int d=b-a;
            int pr= ( a % mod  + ( (long long)(k-1) * (long long)d ) % mod )  %mod ;
            printf("%d\n",pr);
        }
        else {//等比 
            int q=b/a;
            int pr=((a%mod)*(fast_cal(q,k-1)%mod))%mod;
            printf("%d\n",pr%mod);
        } 
    }
    return 0;
}

#10194. 「一本通 6.1 练习 1」A 的 B 次方

模板题

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define LL long long
 
using namespace std;
 
inline LL ll_wread(){
    char c=getchar ();LL flag=1,wans=0;
    while (c<'0'||c>'9'){if (c=='-') flag=-1;c=getchar ();}
    while (c>='0'&&c<='9'){wans=wans*10+c-'0';c=getchar ();}
    return wans*=flag;
}
 
LL fast_cal (LL a,LL b,LL mod){
	LL ans=1;
	while (b){
		if (b&1)	ans=((ans%mod)*(a%mod))%mod;
		a=((a%mod)*(a%mod))%mod;b>>=1;
	} 
	return ans%mod;
}
 
int main (){
	LL a=ll_wread() ,b=ll_wread(),mod=ll_wread();
	printf("%lld\n",fast_cal(a,b,mod));
	return 0;
}

#10195. 「一本通 6.1 练习 2」转圈游戏

#10196. 「一本通 6.1 练习 3」越狱

正难则反：：

显然可以用 $\large m^n$ 表示所有的方案数，即 $\large n$ 个 $\large m$ 相乘

再表示出不相邻的方案数： $\large m*(m-1)^{(n-1)}$

原理：第一个人可以任意取一个宗教，第二个人可以取 $\large m-1$ 个宗教，第三个人也可以取 $\large m-1$ 个宗教（只需要和第二个人的宗教不同即可）

我觉得这道题哪里像模板了！！！好吧，我太菜了

总结最重要：

正难则反，用好这个思想！！！一定要记住：拓展思维

//-> m^n-m*(m-1)^(n-1)
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define LL long long

using namespace std;

const LL mod = 100003;

inline LL wread(){
    char c=getchar ();LL flag=1,wans=0;
    while (c<'0'||c>'9'){if (c=='-') flag=-1;c=getchar ();}
    while (c>='0'&&c<='9'){wans=wans*10+c-'0';c=getchar ();}
    return wans*=flag;
}

LL m,n;

LL fast_cal (LL a,LL b){
	LL ans=1;
	while (b){
		if (b&1)	ans=(ans%mod*a%mod)%mod;
		a=(a%mod*a%mod)%mod;b>>=1;
	}
	return ans;
}

int main (){
	m=wread();n=wread();
	printf ("%lld\n",((fast_cal(m,n)%mod-m%mod*fast_cal(m-1,n-1)%mod)+mod)%mod);	
	return 0;
}