数论-质数-樱花BZOJ2721

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解题思路

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在做这题的时候被卡住了，不知道该怎么做下去。看了一下别人的题解，发现解题的关键在于我们要利用x,y是整数的条件。
首先研究一下x,y，因为 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}$所以x，y必然大于n!
看到别人将y设为n!+a的时候我是惊呆的，为什么能想到这样子替换呢？作为蒟蒻我是想不到的。既然是蒟蒻我们就对式子做一些简单的变换吧。
我们可以将原式通分移项整理后得到 $x=\frac{yn!}{y-n!}$，这样子我们就可以不需要关注x了，只需要关注y，因为我们只需要调节y的值使得x是整数那么这一对(x,y)就是合法的解了。但是这个式子上下都有y，太难受了！参数分离！于是 $x=\frac{yn!}{y-n!}=\frac{(y-n!)n!+(n!)^{2}}{y-n!}=n!+\frac{(n!)^{2}}{y-n!}$，因为x是整数，所以 $y-n!$必然整除 $(n!)^{2}$。因为 $y-n!$整除 $(n!)^{2}$，所以 $y-n!$的取值个数为 $(n!)^{2}$的因子个数，可以看出，这也就是 $y$的取值个数。因此我们只需要对 $(n!)^{2}$进行质因数分解再根据约数个数= $\Pi_{i=1}^{x}(c^{i}+1)$，x为不同的质因数个数，ci为含有的第i个质数的个数。

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分割线

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一点总结：
错误点：1.质因数分解时，当当前素数的平方已经大于被分解数a，则停止循环，否则复杂度就不是 $\sqrt{a}$。
改进点1：利用欧拉筛记录下的v[i]（即每一个的最小质因子）信息加速质因数分解，设当前数为a，则cnt[v[a]]++，a变为a/v[a]，重复此操作直至a变为1，复杂度为O(a的因子个数)。【PS：这操作实在是太骚了】
改进点2：对n!做分解质因数有另外更加快速的算法，参见Slager_Z的博客。（速度比上一个改进方法还快）

复杂度

这位大佬给出了更快的算法，但没有给出该算法的复杂度，在此粗略地计算一下（本人是数学渣）。
要阅读以下推导请先理解Slager Z的博客内容！
假设对n!这个数进行质因数分解时用到了q个质数，分别记作 ${p}_{1},{p}_{2}...{p}_{q}$,则最后一个数 ${p}_{q}$为最后一个小于n的质数。
对于每个素数 ${p}_{i}$我们要用 ${p}_{1}^{i},{p}_{i}^{2}...{p}_{i}^{x_{i}}$这 $x_{i}$个数去计算对n!质因数分解结果的贡献，每次计算时间是 $O(1)$的，因此复杂度为 $O(x_{i})$。
显然最后一个数 ${p}_{i}^{x}$小于等于n，而 ${p}_{i}^{x+1}$大于n，故 $x_{i}=log_{p_{i}}n$
总复杂度为 $\Sigma_{i=1}^{q}log_{p_{i}}n$
我们进行放大（求上界），将所有的 $p_{i}$缩小到 $p_{1}=2$，那就是把原式放大到了 $\Sigma_{i=1}^{q}log_{2}n$
即复杂度 $\Theta(qlog_{2}n)$
q显然小于n。
推完了。
显然是一个比较松的上界，实际应该比这个小一些（比如把所有的 $p_{i}$缩小到 $\frac{n}{2}$什么鬼的？）。。欢迎巨佬来踩。
改进前：共1100ms±

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,l,r) for(int i=(l);i<=(r);i++)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const int inf=1e9+10,mod=1e9+7,N=1e6+100;
ull n,ans,cnt[N],prime[N],v[N],len;
inline void Euler(){
	rep(i,2,n){
		if(v[i]==0){
			v[i]=i;
			prime[++len]=i;
		}
		rep(j,1,len){
			if((prime[j]>v[i])||(i*prime[j]>n)) break;
			v[i*prime[j]]=prime[j];
		}
	}
}
inline void split(int a){
	rep(i,1,len){
		if(prime[i]*prime[i]>a) break;//当大于等于根号n的时候就退出，复杂度才是根号n的。 
		while(a%prime[i]==0) cnt[prime[i]]++,a/=prime[i];
	}
	if(a>1) cnt[a]++;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
	cin>>n;
	if(n==1){
		cout<<1;
		return 0;
	}
	Euler();
	rep(i,1,n) split(i);
	ans=1;
	rep(i,1,n) ans=(ans*(cnt[i]*2+1))%mod;
	cout<<ans;
	return 0;
}
//当n=1的时候要特判！，唯一一个无法进行质因数分解的数. 
//对n!做质因数分解复杂度一定是O(n根号n)吗 

改进后：（运用上述上界nlogn的算法）共90ms±。

#include<bits/stdc++.h>
#include<windows.h>
#define rep(i,l,r) for(int i=(l);i<=(r);i++)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const int inf=1e9+10,mod=1e9+7,N=2e7+100;
ull n,ans,cnt[N],prime[N],v[N],len;
inline void Euler(){
	rep(i,2,n){
		if(v[i]==0){
			v[i]=i;
			prime[++len]=i;
		}
		rep(j,1,len){
			if((prime[j]>v[i])||(i*prime[j]>n)) break;
			v[i*prime[j]]=prime[j];
		}
	}
}
int main(){
	freopen("input.in","r",stdin); freopen("output.out","w",stdout);
	unsigned int start_time=GetTickCount();
	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
	cin>>n;
	if(n==1){
		cout<<1;
		return 0;
	}
	Euler();
	rep(i,1,len){
		ull j=prime[i];
		while(j<=n){
			cnt[i]+=(ull)n/j;
			j=j*prime[i];
		}
	}
	ans=1;
	rep(i,1,len) ans=(ans*(cnt[i]*2+1))%mod;
	cout<<ans;
	cout<<"time="<<GetTickCount()-start_time<<"ms";
	return 0;
}