复数的表示

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复数的表示

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1. 复数：首先，复数基本单位是 $i=\sqrt{−1}$。
   有了这个单位，复数空间中的每个数都可以表示为 $a+bi$ 的形式。其中， $a$ 被称为实部 real part， $b$ 被称为虚部 imaginary part。
   复数可以在复平面（complex plane）上表示，复平面横纵坐标分别为实部和虚部。

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2. 事实上，复数是可以用坐标表示的，我们可以在复平面中计算出来。
   例如，复数 $4+3i$ 的复平面直角坐标表示是 $(x,y)=(4,3)$，原点指向该点的向量长度 $r=\sqrt{4^2+3^2}=5$，向量的角度 $\theta=\arctan {(\frac{3}{4})}$。这里，复数极坐标表示的长度 $r$ 也被称为强度 magnitude，角度 $\theta$ 也被称为相位 phase。
   有以下关系：
   $\begin{aligned} x &= r \cos \theta \\ y &= r \sin \theta \end{aligned}$

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3. 复数的复指数表示与欧拉公式
   欧拉有一天发现，神奇数字 $\text e$ 的纯虚数次方竟然在复数平面上绕圈！
   用极坐标形式表示，就是 $\text e^{i\theta} = \cos \theta+i \sin \theta$。
   于是复数的表现形式有：
   $\begin{aligned} v \in \mathbb{C}^{1} &= x+iy\\ &=r( \cos \theta+i \sin \theta )\\ &= r\text e^{i\theta} \\ (x,y) &= (r \cos \theta, r \sin \theta) \\ \mathbf v &= (r , \theta) \end{aligned}$
   而当 $r=1$， $\theta=\pi$ 时，对应的直角坐标刚好就是 $(−1,0)$，也就是实数 -1。由此就有了那个著名的欧拉公式：
   $\text e^{i\pi} +1 = 0$
   复指数信号可以用来表示实数正弦信号：

$\left\{ \begin{array}{l} e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin\theta\\ e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta \end{array} \right. ⇒ \left\{ \begin{array}{l} \cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\\ \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} \end{array} \right.$

refs

[1]. https://mengqi92.github.io/2015/10/06/complex/
[2]. https://blog.csdn.net/lanchunhui/article/details/54600285