设a为大于1的正整数，则a的除1以外的最小正因数q是素数，且a为合数时，q<=a^-2
证明，假设q是a的最小素因子，则a可以表示为qm，（m不为1），假设q>m，如果m为素数，则与q为最小素因子的前提矛盾，若m为合数，那么m的因子中必定含有比q小的素因子，且其也为a的因子，也与q是a的最小素因子矛盾。所以q<=m，那么mq >= q^2，即q<=a^-2
整数唯一分解定理：任何大于1的整数都能分解成素数的乘积，即对于整数a>1，有a=p1p2..pn（1），其中p1,p2..pn为素数，并且若a=q1q2..qm（2），则m=n，qi=pi(i=1,2..n）
证明：数学归纳法
首先a=2的情况下显然成立，假设对于小于a的任意整数都成立，考虑a为素数是显然成立的。如果为合数则a可以表示为bc，1 < b <= c < a，可知b,c可表示为素数乘积，因此a也可表示为素数乘积，故式（1）成立
证明唯一性：p1p2..pn=q1q2..qm，由引理：若q|ab，则q|a或q|b（q为素数） 可知
p1| qj,q1|pk,由于qj,pk为素数，则p1=qj,q1=pk，同时有p1>=q1（假设pn 和qm 序列按大小排好了），且q1 >= p1，所以p1 = q1，以此类推，最后可得pn=qm，m=n
一次不定方程
二元一次不定方程是指ax+by=n，其中a,b,n为给定的整数，且ab！=0，那么该方程有解的充分必要条件是(a,b)|n
证明：必要性：不妨设(a,b)=k ,那么a = mk b= nk,其中m与n互质
那么原方程可化为k(mx+ny)=n，其中k为整数，n为整数，mx+ny也是整数，则有k|n，即（a,b)|n
充分性可自行证明
进一步的，若（a,b）=1，那么该方程的全部解可表示为x = x0+bt, y = y0-at， x0，y0为一组解，t为任意整数。
证明 假设ax0+by0=n 那么a(x0+bt) + b(y0-at)=ax0+by0+abt-abt=n
考虑不定方程a1x1+a2x2=n，(a1,a2)=1，a1,a2大于0，在n>a1a2时，该方程有正整数解，但在n=a1a2时,没有正整数解
证明，不妨两边同减去a1a2，a1(x1-a2) + a2x2 = n - a1a2 若 n =a1a2，假设x1>=a2 ，则必有x2<=0，与假设矛盾，若0