1.证明形如4n-1的素数有无数个。
证明：在已知素数有无数个的情况下，素数可以分为两种，4n-1型和 4n+1型
假设4n-1型有限，不妨令他们为p1 p2…pn
令x = 4xp1xp2…pn-1
若 x为素数，不用多说
若x为合数，且有4n-1型质因子，不妨设为q，则q一定在p1,p2..pn中，但q|x又q|x+1 矛盾，则x只有4n+1型质因子，这时x同余1（mod4） 与假设x同余-1(mod4)矛盾
2.对于任意的给定整数x0，不存在整系数多项式f(x)=a0x^n +a1x^n-1+…an(an!=0 ,n>0),使得x取所有>=x0的整数时，f(x)表示素数
证明：若an=0 ，那么这个多项式不存在，因为它必是一个含有x0作因子的合数
将an分解质因子为p1,p2..pk，若x0<其中最小的，不妨设为pl，那么x取pl就可以使这个式子变为合数。若x0>其中最大的，那取x = an整数倍且>x0，也可以使它变为合数
3.设a,b,c为三个不全为0的整数，且a = pb+c 那么（a,b) = (b,c)
证明：不妨设a=kl b=ml,l为a,b的最大公约数，则c=kl-ml=(k-m)l，那么（b,c)=(ml,(k-m)l)。因为k同余m(modm)，假设k-m = gm，则k=(g+1)m，与k与m互质矛盾，所以k-m与m互质。所以l也是b和c的最大公约数
4.若任给整数a,b>0，则存在整数m,n 使得（a,b)=ma+nb
证明：由前可知a，b可表示为hl,jl，则令l=mhl+njl，即有mh+nj=1即可满足条件
5.关于前一个定理有它的关于n的推广，证明有兴趣可以自行证明
n>2，存在a1,a2..an这样的正整数，使得a1x1+…anxn=（a1,a2…an）