算法合集之《分治算法在树的路径问题中的应用》
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树被定义为没有圈的连通图,有几个性质
- 在树中去掉一条边后,得到的图是不连通的
- 在树中添加一条边后,一定存在一条边
- 树的每一对顶点U和V之间有且只有一条路径
分治
分而治之,将一个问题分割成一些规模较小的相互独立的子问题 ,通常在一个线性结构上分治,分至算法在树结构上的应用称为树分治算法
- 基于点的分治
首先,选取一个点将无根树转化为有根树,再递归处理以根节点的儿子为根的子树
我们选取一个点,要求将其删除后,节点最多的树的节点个数最小,这个点被称为树的重心
.
可以用树上的动态规划解决,时间复杂度为O(n),n为树的节点总数
- 基于边的分治
在树中选取一条边,将原树分为两棵不相交的树,递归处理
选取的边要满足所分离出来的两棵子树的节点个数尽量平均,这条边称为中心边
。
可以用树上的动态规划解决,时间复杂度为O(n),n为树的节点总数
定理1
存在一个点使得分出的子树的节点个数均不大于 N/2
定理2
如果一棵树中,每个点的度均不大于D,那么存在一条边使得分出两棵子树的节点个数在 [N/(D+1),N*(D+1)],(N>=2)
POJ1741
题意
给定一个N个节点的带权树,定义dist(u,v)
为u,v两点之间的最短路径长度,路径长度定义为路径上所有边的权和。对于两个不同的点a,b,如果满足dist(a,b)<=k
,称为合法点对,求合法点对的个数
#include<iostream>
#include<map>
#include<string>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<climits>
using namespace std;
const int maxn=1e4+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
int n,k,allnode;
int head[maxn*2];
int num;
int dp[maxn];
int size[maxn];
int Focus,M;
ll dist[maxn];
int deep[maxn];
bool vis[maxn];
ll ans;
struct Edge
{
int u,v,w,next;
}edge[maxn<<2];
void addEdge(int u,int v,int w)
{
edge[num].u=u;
edge[num].v=v;
edge[num].w=w;
edge[num].next=head[u];
head[u]=num++;
}
void init()
{
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(dist,0,sizeof(dist));
memset(vis,0,sizeof(vis));
num=0;
}
void getFocus(int u,int pre)
{
size[u]=1;
dp[u]=0;
for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].v;
if(v==pre||vis[v]) continue;
getFocus(v,u);
size[u]+=size[v];
dp[u]=max(dp[u],size[v]);
}
dp[u]=max(dp[u],allnode-size[u]);
if(M>dp[u])
{
M=dp[u];
Focus=u;
}
}
void dfs(int u,int pre)
{
deep[++deep[0]]=dist[u];
for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].v,w=edge[i].w;
if(v==pre||vis[v]) continue;
dist[v]=dist[u]+w;
dfs(v,u);
}
}
int cal(int x,int now)
{
dist[x]=now,deep[0]=0;
dfs(x,0);
sort(deep+1,deep+deep[0]+1);
int ans=0;
for(int l=1,r=deep[0];l<r;)
{
if(deep[l]+deep[r]<=k)
{
ans+=r-l;
l++;
}
else r--;
}
return ans;
}
void solve(int x)
{
vis[x]=1;
ans+=cal(x,0);
for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].v;
if(vis[v]) continue;
ans-=cal(v,edge[i].w);
allnode=size[v];
Focus=0,M=1e9;
getFocus(v,x);
solve(Focus);
}
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt","r",stdin);
freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF&&(n+k))
{
init();
for(int i=1,u,v,w;i<n;i++)
{
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
addEdge(u,v,w);
addEdge(v,u,w);
}
Focus=ans=0;
allnode=n,M=1e9;
getFocus(1,0);
solve(Focus);
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
聪聪可可 HYSBZ - 2152
题意
这道题和POJ1741非常类似,这里只不过多了一步转化,要处理3的倍数,在建图和统计的时候都进行模3操作,这样最后两个点之间的距离只可能是0,1,2,然后就可以用他们组合为3的倍数,首先0和0组合,1和2组合,2和1组合【题中(1,2)和(2,1)不同】 分子可以由树分治求出来,分母必然是N*N
#include<iostream>
#include<map>
#include<string>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<climits>
using namespace std;
const int maxn=2e4+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
int n,k,allnode;
int head[maxn*2];
int num;
int dp[maxn];
int size[maxn];
int Focus,M;
ll dist[maxn];
int deep[maxn];
bool vis[maxn];
int ans;
int cnt[4];
struct Edge
{
int u,v,w,next;
}edge[maxn<<2];
void addEdge(int u,int v,int w)
{
edge[num].u=u;
edge[num].v=v;
edge[num].w=w;
edge[num].next=head[u];
head[u]=num++;
}
void init()
{
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(dist,0,sizeof(dist));
memset(vis,0,sizeof(vis));
num=0;
}
void getFocus(int u,int pre)
{
size[u]=1;
dp[u]=0;
for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].v;
if(v==pre||vis[v]) continue;
getFocus(v,u);
size[u]+=size[v];
dp[u]=max(dp[u],size[v]);
}
dp[u]=max(dp[u],allnode-size[u]);
if(M>dp[u])
{
M=dp[u];
Focus=u;
}
}
void dfs(int u,int pre)
{
cnt[deep[u]]++;
for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].v;
if(v==pre||vis[v]) continue;
deep[v]=(deep[u]+edge[i].w)%3;
dfs(v,u);
}
}
int cal(int x,int now)
{
deep[x]=now;
cnt[0]=cnt[1]=cnt[2]=0;
dfs(x,0);
return cnt[1]*cnt[2]*2+cnt[0]*cnt[0];
}
void solve(int x)
{
ans+=cal(x,0);
vis[x]=1;
for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].v;
if(vis[v]) continue;
ans-=cal(v,edge[i].w);
allnode=size[v],M=1e9,Focus=0;
getFocus(v,x);
solve(Focus);
}
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt","r",stdin);
freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
scanf("%d",&n);
init();
for(int i=1,u,v,w;i<n;i++)
{
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
addEdge(u,v,w%3);
addEdge(v,u,w%3);
}
allnode=n,Focus=0,M=1e9;
getFocus(1,0);
solve(Focus);
int t=__gcd(ans,n*n);
printf("%d/%d\n",ans/t,n*n/t);
return 0;
}