Stam J. Real-Time Fluid Dynamics for Games[J]. Journal of Graphics Tools, 2003, 6.
感谢朱老师的指导..本文对论文的实现代码进行分析，并试图补全论文中说得不够详细的部分，侧重于对solver的分析，opengl的部分比较简单，附件为已添加注释的代码。
我使用canvas api实现了一个基于web的版本，限于浏览器性能，在帧率上不如原文。可以在此链接中浏览效果：http://pigcage.tech/MyProjects/stablefluid/
一、系统的建立
1、网格系统
这里使用的是欧氏方法，代码中创建了一个N*N的网格（其中N=64，越大的N值意味着越高的性能开销）。在网格的四周有一层边界（0与N+1），亦即实际网格的大小为size=(N+2)*(N+2)。对于网格中的每一个单元格（cell），假定N*N网格的边长为1，那么每个单元格的边长为h=1/N。
基于此网格系统，程序使用一些全局变量来储存流体的基本属性，见附件中demo.c的注释如图：
时间步长为dt，一般来说，应满足dt < h * |u|，以保证模拟的精度。
每个单元格对应有密度（density）与速度（velocity）两个属性。其中速度为矢量，此处为二维模拟，故分为u、v两个方向表示，此处u指上下方，v指左右方。对于这些属性，分别使用形如dens、dens_prev形式的两个数组， 表示网格该属性的当前状态和前一状态。使用SWAP(x0,x)来交替这两个数组以达到状态的更新，其中x0为上一状态。这些数组均为一维数组，程序中使用形如dens[IX(i , j)]的形式，表示第j行i列的单元格属性。
2、准备知识
1.为了便于求解，使用到了Splitting方法，大体来说是这样的，感觉比较显然就不具体描述了吧..
2.N-S方程
3.顺便贴一下物质导数D
二、密度步骤
由于这里是处理烟雾，密度的高低等价于烟雾的浓度。使用密度数据即可绘制对应的烟雾视图。对密度的处理分为上图几个步骤，在每一帧中，依次添加力、处理扩散和移动。
1、力和源的添加
这一步比较简单，使用add_source函数。
void add_source ( int N, float * x, float * s, float dt )
{
int i, size=(N+2)*(N+2);
for ( i=0 ; i<size ; i++ ) x[i] += dt*s[i];
}
用户输入的源（source）或力（force）被储存在 s[ ] 中，那么把这些状态直接加到新一帧的对应属性 x[ ] 即可。至于乘以dt也就是因为使用了splitting的方法，并不是冲量..下同。
2、扩散（diffusion）
上面已经处理了外部输入源的情况。对于接下来的扩散步骤（烟雾的自发扩散）。根据N-S方程，我们知道扩散项为 k · ∇^2 u ，其中k为扩散系数，u为密度场。于是我们对某个局部的区域 x 而言，有 x - x0 = k · ∇^2 u 。这里是对x、y两个方向求偏导，也就相当于只考虑每个cell与其四领域的交互了。
设每一个帧的时间dt，扩散系数diff，对于上式我们有：
x[IX(i,j)] - x0[IX(i,j)] = a*(x[IX(i-1,j)]+x[IX(i+1,j)]+x[IX(i,j-1)]+x[IX(i,j+1)]-4*x[IX(i,j)]);
其中a=dt*diff*N*N，由于这里和后面projection用到了相同的方法，我想把对这条式子右值的解释留到最后。对上式进行化简整理，可以得到：
x[IX(i,j)] = (x0[IX(i,j)] + a*(x[IX(i-1,j)]+x[IX(i+1,j)]+x[IX(i,j-1)]+x[IX(i,j+1)]))/(1+4*a);
令t=a/(1+4*a)，数组x0为已知的上一状态。我们可以把这个等式写成线性方程组，如下图：
（勘误：上图-1应为-t/a）
对于最左矩阵的第IX(i,j)行而言，对应的四个t的位置分别为第IX(i-1,j)，IX(i,j-1)，IX(i,j+1)，IX(i+1,j)列，而-t/a的位置为第IX(i,j)列。这是一个稀疏矩阵，求解这个线性方程组用到了高斯-赛德尔迭代。关于这个方法的本身可参考https://www.cfd-online.com/Wiki/Gauss-Seidel_method。代码实现如下：
for ( k=0 ; k<20 ; k++ ) {
for ( i=1 ; i<=N ; i++ ) {
for ( j=1 ; j<=N ; j++ ) {
x[IX(i,j)] = (x0[IX(i,j)] + a*(x[IX(i-1,j)]+x[IX(i+1,j)]+x[IX(i,j-1)]+x[IX(i,j+1)]))/(1+4*a);
}
}
set_bnd ( N, b, x );
}
其中k为迭代的次数，此处设为20，较大的迭代次数可以保证好的精度，但性能的开销也更大。set_bnd()函数的作用为设置边界条件，后面再具体分析。
3、对流（advection）
由于速度场的存在，流体不仅有自发的扩散运动，也有因速度带来的流动。按照通常的思维角度，也就是N-S方程的对流项 - (u · ∇) ρ，我们可以根据每个单元格当前的u、v分量（下图a）计算出步长dt后的对应位置（下图b）。但这个位置并不是总在单元格的中心点上（下图b），这将导致计算出的结果难以使用。
因此，作者在此处采取了前向追溯的方式，使用半拉格朗日法（semi-lagrangian）通过当前单元格的速度来计算该处状态在前一dt时的位置（下图c）。这里讨论的是密度的对流，对于速度的对流也是一样的道理，只是速度是个矢量场，拆分成多个维度来计算。
实现的代码如下：
void advect ( int N, int b, float * d, float * d0, float * u, float * v, float dt )
{
int i, j, i0, j0, i1, j1;
float x, y, s0, t0, s1, t1, dt0;
dt0 = dt*N;
FOR_EACH_CELL
//线性回溯上一时刻的位置(x,y)
x = i-dt0*u[IX(i,j)]; y = j-dt0*v[IX(i,j)];
if (x<0.5f) x=0.5f; if (x>N+0.5f) x=N+0.5f; i0=(int)x; i1=i0+1;
if (y<0.5f) y=0.5f; if (y>N+0.5f) y=N+0.5f; j0=(int)y; j1=j0+1;
//四个邻居到点(x,y)线性插值，求得点(x,y)的值
s1 = x-i0; s0 = 1-s1; t1 = y-j0; t0 = 1-t1;
d[IX(i,j)] = s0*(t0*d0[IX(i0,j0)]+t1*d0[IX(i0,j1)])+s1*(t0*d0[IX(i1,j0)]+t1*d0[IX(i1,j1)]);
END_FOR
set_bnd ( N, b, d );
}
这里主要解释一下d、d0的等量关系。
前一位置(x,y)可能位于网格的任意一点上，由于其不一定出于中心点，我们无法直接确定该点的密度。作者提出通过线性插值的方式，使用点(x,y)相邻四个中心点的密度值，来算出点(x,y)处的密度。具体如下图：
其中，红点处为点(x,y)，相邻的四个网格内的黑点为中心点，左上角网格为假定点(x,y)经过时间步长dt后到达的当前位置(i,j)，s0、s1、t0、t1为点(x,y)到四个相邻中心点的横纵距离。根据线性插值的规则不难得出(x,y)处的实际密度，而此处的密度，经过dt时长后到达点(i,j)处，故实际上就是当前中心点(i,j)的密度，如上述程序片段所示。对于后面速度步骤中，处理u、v分量，亦是相同的原理。
至此，对当前一帧密度状态的处理完成，如下：
void dens_step ( int N, float * x, float * x0, float * u, float * v, float diff, float dt )
{
add_source ( N, x, x0, dt );
SWAP ( x0, x ); diffuse ( N, 0, x, x0, diff, dt );
SWAP ( x0, x ); advect ( N, 0, x, x0, u, v, dt );
}
三、速度步骤
对速度的处理与对密度的处理大致类似，由于速度有u、v两个方向的分量，因此对每一分量要经过同样的处理。不同的是，对速度的处理需要经历投影（project）步骤，得到一个不可压缩场（质量守恒场），实际上就是处理N-S方程中的压力项。
首先有以下概念：
至于为什么是这样来呢，以及project部分的详细数学过程，我想留到最后解释。这里Δx = Δy =1/N = h。根据霍奇分解定理（Helmholtz-Hodge Decomposition），速度场w可以被分解为不可压场u与梯度场∇p的和：
w = u + ∇p
u是不可压场，有∇ · u = 0，对于等式(1)两边分别进行 ∇ · 操作，得到：
∇ · w = Δ p
离散化：
等式左侧实际上就是散度场div[]，我们可以通过已知的u、v分量求得，代码如下。
for ( i=1 ; i<=N ; i++ ) {
for ( j=1 ; j<=N ; j++ ) {
div[IX(i,j)] = -0.5*h*(u[IX(i+1,j)]-u[IX(i-1,j)]+v[IX(i,j+1)]-v[IX(i,j-1)]);
p[IX(i,j)] = 0;
}
}
于是有：
类似前面在advection中所述，此处的式(1)同样可以写成线性方程组的形式，不再列出。因而这里同样可以用高斯-赛德尔迭代求解压力场 p[] ，如下：
for ( k=0 ; k<20 ; k++ ) {
for ( i=1 ; i<=N ; i++ ) {
for ( j=1 ; j<=N ; j++ ) {
p[IX(i,j)] = (div[IX(i,j)]+p[IX(i-1,j)]+p[IX(i+1,j)]+p[IX(i,j-1)]+p[IX(i,j+1)])/4;
}
}
set_bnd ( N, 0, p );
}
解出p以后，就可以算出梯度场 ∇p ，最后用速度场 w - ∇p = u，得到不可压场。
for ( i=1 ; i<=N ; i++ ) {
for ( j=1 ; j<=N ; j++ ) {
u[IX(i,j)] -= 0.5*(p[IX(i+1,j)]-p[IX(i-1,j)])/h;
v[IX(i,j)] -= 0.5*(p[IX(i,j+1)]-p[IX(i,j-1)])/h;
}
}
至此，project步骤完成。
四、边界条件
所谓边界，就是网格最外层的一圈（0和N+1）。在计算网格的某一cell的具体状态时，我们通常要使用到与之相邻的几个cell的状态，那么对位于网格边缘的cell而言，它们在一些方向上自然是没有邻居的。为了解决这个问题，我们在网格的外面额外增加一层边界，并根据实际情况为其赋值。
先看实现：
void set_bnd ( int N, int b, float * x )
{
int i;
for ( i=1 ; i<=N ; i++ ) {
x[IX(0 ,i)] = b==1 ? -x[IX(1,i)] : x[IX(1,i)];
x[IX(N+1,i)] = b==1 ? -x[IX(N,i)] : x[IX(N,i)];
x[IX(i,0 )] = b==2 ? -x[IX(i,1)] : x[IX(i,1)];
x[IX(i,N+1)] = b==2 ? -x[IX(i,N)] : x[IX(i,N)];
}
x[IX(0 ,0 )] = 0.5f*(x[IX(1,0 )]+x[IX(0 ,1)]);
x[IX(0 ,N+1)] = 0.5f*(x[IX(1,N+1)]+x[IX(0 ,N)]);
x[IX(N+1,0 )] = 0.5f*(x[IX(N,0 )]+x[IX(N+1,1)]);
x[IX(N+1,N+1)] = 0.5f*(x[IX(N,N+1)]+x[IX(N+1,N)]);
}
参数b等于1、2时分别处理u、v两个方向的分量，也就是该速度方向到达对应的两个边界时发生碰撞，速度方向取反。当b为0时，处理的是密度值，密度不存在碰撞问题，故四个边界均保留原值。
对于网格的四个顶点而言，这里的状态为其相邻两个单元格的平均值。
五、完整过程
最后放一下实际执行模拟的代码。这里实际是先处理速度再处理密度，因为需要保证其不可压缩性。
while ( simulating )
{
get_from_UI ( dens_prev, u_prev, v_prev );
vel_step ( N, u, v, u_prev, v_prev, visc, dt );
dens_step ( N, dens, dens_prev, u, v, diff, dt );
draw_dens ( N, dens );
}
六、散度、梯度及其它
现在我们来把散度、梯度以及上面提及的使用高斯-赛德尔迭代求解的等式具体解释一下。
首先说散度（divergence），某位置上的散度形容的是这个位置上向量场的发散程度。举个可能不太恰当的例子，你周围静止地站着一些人，这时候你这个位置的散度div=0；由于你今天喷了香水，周围的人纷纷向你凑过来闻，这时候你的散度就是负的了；然后你又放了一个屁，大家不堪其臭纷纷散开，于是你又成了一个正源，即div > 0。
回到流体中，对于一个可压缩的流体来说，某点周围的物质由于速度的存在，可能总体会朝这个点聚拢，这时候div<0，表现为该点附近的物质被压缩了；类似地，当div>0时，物质纷纷离开这个点，看起来就是这里的物质膨胀或者爆炸了。一般而言，我们研究的是不可压流体，或者换句话说，我们希望这个流体看起来是质量守恒的（mass conserving），物质不会凭空压缩或爆炸。也就是，我们需要保准散度为0，物质不能压缩也不能爆炸。更准确地说，流体的体积应该是不变的，而控制这一过程的正是压力p，也就是N-S方程的压力项。
现在来看散度算子 。div = ∇ · w ，其中∇ · 是散度算子，w是一个梯度场，运算的结果是纯量。我们讨论二维的情况。令w=( u , v )， ∇ · w = ∂u/∂x +∂v/∂y 。中心差分法，对二维平面上的速度场u( i , j )、v( i , j ) 有：
∂u/∂x = ( u(i+1,j) - u(i-1,j) )/2Δx
同理有：
∂v/∂y = ( v(i,j+1) - v(i,j-1) )/2Δy
于是我们得到散度计算公式：
∇ · w = ∂u/∂x +∂v/∂y = ( u(i+1,j) - u(i-1,j) )/2Δx + ( v(i,j+1) - v(i,j-1) )/2Δy
已知Δx=Δy=h=1/N，得到：
散度div = ( u(i+1,j) - u(i-1,j) + v(i,j+1) - v(i,j-1) ) / 2h
2. 接下来如何去除速度场的散度，使得 ∇ · w = 0，即实现质量守恒、不可压性呢？
根据亥姆赫兹 - 霍奇分解定理，任一速度场 w（向量场），可以唯一分解为一个无散度场u与一个梯度场的和。即：
w = u + ∇ p
所谓projection，也就是去掉∇ p，即取 w 在 u 上的投射。
那么对于上式，u是无散场，∇ · u = 0，对等式两边∇ · 有：
∇ · w = Δ p
对于此式，∇ · w = ∂u/∂x +∂v/∂y ，此处已知，也就是我们前面求得散度场div。
对于等式右边，Δ p = ∇ · ∇ p = ∂(∂p/∂x) / ∂x +∂(∂p/∂y) / ∂y ，不妨以x方向来举例，设x方向上有三个离散的点 x(i-1) ， x(i) ， x(i+1) ，此外x(i-1) ， x(i)中点处有一点a， x(i) ， x(i+1) 中点处有一点b。
中心差分法，对于a处我们有 f' (a) = [ f(i) - f(i-1) ]/h，同理对b有f' (b) = [ f(i+1) - f(i) ]/h
那么，对于i处有f'' (i) = [ f' (b) - f' (a) ] / h = [ f(i+1) - 2f(i) + f(i-1) ] / h^2。令 ∇ · w = Δ p = div，于是：
于是得到p的迭代公式：
这里注意，因为原程序中lin_solve()函数的写法关系，上式div对应的变量系数只能为1，因此程序在计算散度div时实际计算的时d = - h^2 · div，再代入上式计算。于是有：
至此可以用高斯迭代计算出压力场p。得到p后，求压力梯度场 ∇ p = ( ∂p/∂x , ∂p/∂y )，最后速度场减去此梯度场，得到不可压场。
七、附件
附件为添加了一定注释的完整实现代码demo.c与solver.c，由于为边分析边添加注释，难免错漏。本文亦出于整理思路的需要写成，错漏之处还望指正。
附件：