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@(树状数组算法详解·目录)
树状数组的引入
相信读者一定知道什么是前缀和，形如一串数\(a1,a2...,an,sum[i]=a[1]+a[2]+...+a[i]\)
前缀和在算法的优化上占有很重要的地位，一般就会预先对数据进行预处理运算以后，再在运算过程中用\(O(1)\)时间调用，这样的操作很大程度上避免了实际运算中的枚举，NOIP2016魔法阵就是一个典型的例题。
But前缀和也有其缺陷：
当原序列中的数据修改后如果快速调用前缀和？？
在此，我们引入了一个名叫树状数组的算法，快速将单点修改和区间查询优化到\(O(logn)\)级别。
lowbit的含义
\(lowbit(i)\)表示非负整数i再二进制下最低位1以及末尾0的个数。
例如，二进制\(1001001100\)中，\(100\)的长度为\(3\)，所以这个数字\(lowbit\)运算的结果为\(3\)。
根据计算机（dev-c++）的运算法则可得，lowbit(i)=i&-i .
树状数组的前缀和存储方式
对于每一个求和数组\(c[i],c[i]\)的求和范围\(a[i-lowbit(i)+1]\)~\(a[i]\).
用一幅图可以形象直观的解释其存储方式：
单点修改
对于\(add(x,val)\)，表示\(a[x]\)加上了数值\(val\)。如何修改：
例如\(x=3\)，需要修改的是\(3,4,8\)（若\(n=8\)）
可见对于每一个修改的位置\(x\)，下一个要修改的是\(x+lowbit(x).\)
即，\(3+lowbit(3)=4,4+lowbit(4)=8.\)
故得到代码如下：
void add(int x,int val)
{
for (int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
c[i]+=val;
return;
}区间查询
\(ask(x)\)表示要查询\(1\)~\(x\)的前缀和。
例如\(x=7，sum=c[7]+c[6]+c[4],\)
可见对于每一\(x\)，下一步要累加的是\(c[x-lowbit(x)].\)
因此得到代码如下：
inline int ask(int x)
{
int ans=0;
for (int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
ans+=c[i];
return ans;
}对于查询l到r区间的和，则\(sum=ask( r )-ask( l-1 ).\)
初始化
每一个\(c\)数组的求和范围是\(i-lowbit(i)+1\)~\(i,\)
可以利用最普通的前缀和直接求出\(1-i\)的和，
则\(c[i]=sum[i]-sum[i-lowbit(i)]\)。
模板例题——树状数组基本操作
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
1.将某一个数加上x
2.求出某区间每一个数的和
操作1： 格式：1 x k 含义：将第x个数加上k
操作2： 格式：2 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和
输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。
注意n≤500000.
code：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=500000;
int n,m;
int a[maxn+10];
int c[maxn+10];
int sum[maxn+10];
#define lowbit(x) (x&-x)
void add(int x,int val)
{
for (int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
c[i]+=val;
return;
}
inline int ask(int x)
{
int ans=0;
for (int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
ans+=c[i];
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%d",a+i);
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
}
for (int i=1;i<=n;++i) c[i]=sum[i]-sum[i-lowbit(i)];
for (int i=1;i<=m;++i)
{
int num,x,y;
scanf("%d%d%d",&num,&x,&y);
if (num==1) add(x,y);
else printf("%d\n",ask(y)-ask(x-1));
}
return 0;
} 差分——区间修改
已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
1.将某区间每一个数数加上x
2.求出某一个数的值
操作1： 格式：1 x y k 含义：将区间[x,y]内每个数加上k
操作2： 格式：2 x 含义：输出第x个数的值
注意n≤500000.
对于某一区间\(x~y\)加上\(k\)，可以用一个数组b标记：\(b[x]\)加上\(k\)，\(b[y+1]\)减去\(k\)。
仔细思考一下，其实十分巧妙：
对这个标记数组做前缀和，做到\(x\)及以后刚刚加上了k，但是做到\(y+1\)以后又减回去了。
因此我们只需要用树状数组去维护这个数组b的前缀和，对于操作\(2\)返回\(a[x]+ask(x)\)即可。
code：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x&-x)
#define LL long long
const LL maxn=500000;
LL n,m;
LL a[maxn+10];
LL c[maxn+10];
void add(LL x,LL val)
{
for (LL i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
c[i]+=val;
return;
}
inline LL ask(LL x)
{
LL sum=0;
for (LL i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
sum+=c[i];
return sum;
}
int main(void)
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for (LL i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",a+i);
for (LL i=1;i<=m;++i)
{
LL t;
scanf("%lld",&t);
if (t==1)
{
LL x,y,k;
scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k);
add(x,k),add(y+1,-k);
}
if (t==2)
{
LL x;
scanf("%lld",&x);
printf("%lld\n",a[x]+ask(x));
}
}
return 0;
}备注
两道例题来自于洛谷\(P3374\)和\(P3368\).
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