差分树状数组

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运用到的数学思想：

一

假设现在有一个原数组a(假设a[0] = 0)，有一个数组d，d[i] = a[i] - a[i-1]，那么

a[i] = d[1] + d[2] + … + d[i]

d数组就是差分数组

所以求a[i]就可以用树状数组维护d[i]的前缀和

即维护的是d[i]的树状数组

上面的数学思想可以实现区间修改，以及单点查询。

下附上代码:

区间修改(1~n)

void change(int x,int k)
{
    for (;x <= n;x += lowbit(x)) c[x] += k;
}
{
    change(l,x);	///记得要change两次，一个在l,一个在r+1
    change(r+1,-x);
}

单点查询

void change(int x,int k)
int getsum(int x)		///得出的就是区间点的值
{
    int ans = 0;
    for (;x;x -= lowbit(x)) ans += c[x];
    return ans;
}

二

根据上面的差分数组的定义可以得到：

a[1] + a[2] + a[3] + … + a[k] = d[1] + d[1] + d[2] + d[1] + d[2] + d[3] + … + d[1] +

d[2] + d[3] + … + d[k] = Σ(k - i + 1) * d[i] (i从1到k)

变化一下 Σa[i] (i从1到k) = Σ(k+1) * d[i] - i * d[i] (i从1到k)

d[i]可以用一个前缀和维护，i * d[i]也可以用一个前缀和进行维护，所以区间修

改，区间查询就变得很方便了

假设c1维护d[i]的前缀和，c2维护d[i] * i的前缀和

区间查询及区间修改

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

int getsum(int x)
{
    int ans1 = 0;
    int ans2 = 0;
    for (int i = x;i;i -= lowbit(i))
    {
        ans1 += (x + 1) * c1[i];
        ans2 += c2[i];
    }
    return ans1 - ans2;
}

void add(int x,int y)
{
    for (int i = x;i <= n;i += lowbit(i)) c1[i] += y,c2[i] += x * y;
}
{
    add(l,x);           //在l处加相应的x,在r+1减去x
    add(r+1,-x);
}

现附上参考博文：树状数组区间修改，区间更新：差分数组的运用

基本照搬其文，不过现在时间一晚，不便修改，在此结篇。

题目： 习题：木桩涂涂看