蒜头君的购物袋2

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1.题目

蒜头君去超市购物，他有一只容量为 VV 的购物袋，同时他想买 nn 件物品，已知每件物品的体积 v_ivi​ 和重要度 p_ipi​。蒜头君想知道，挑选哪些物品放入购物袋中，可以使得买到的物品重要度之和最大，且物品体积和不超过购物袋的容量。

输入格式
第一行输入两个整数 VV（1 \leq V \leq 10001≤V≤1000）和 nn（1 \leq n \leq 1001≤n≤100）。代表购物袋的总体积为 VV，蒜头君一共想买 nn 件物品。

接下来输入 nn 行，每行输入两个整数 v_ivi​ 和 p_ipi​（1 \leq v_i, p_i \leq 1001≤vi​,pi​≤100），分别表示每件物品的体积和重要度。

输出格式
输出一行，输出一个整数，表示蒜头君能买到物品的最大重要度之和。

2.分析

核心方程：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+p[i])
其实理解了也比较简单，dp[N][V]表示前N个物品中（同一个物品不能重复拿），在不超过容量V的前提下，所取的最大重要度的值。

• 当此时判断第i件物品：
• 第i件物品拿不了（j<v[i]），dp[i][j]=dp[i-1][j]
• 当i件物品可以拿（j>=v[i]），dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+p[i])
  dp[i-1][j-v[i]]+p[i]的意思就是当你拿了第i件物品时，而此时的容量为j，减去第i件物品的体积v[i]所剩余的体积j-v[i],而i-1件物品时，体积限制为j-v[i]时的重要度值加上第i件物品的重要度p[i],即dp[i-1][j-v[i]]+p[i]

3.AC代码

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

int dp[101][1001];//dp[N][V]表示在前N个物品中买东西，在总容量不超过V的前提下，所取的最大重要度的值
int v[101],p[101];

int main()
{
    int V,N;
    cin>>V>>N;
    memset(dp,0,sizeof(dp));//初始化值
    for(int i=1;i<N;i++)
        cin>>v[i]>>p[i];
    for(int i=1;i<=N;i++){//控制物品的递增
        for(int j=0;j<=V;j++){//控制容量的递增
            if(j<v[i])
                dp[i][j]=dp[i-1][j];//该物品的体积超过容量
            else
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+p[i]);
            //容量够，选择(选第i个：第i-1件物品时，j-v[i]多出来的容量所装的重要度加上第i件物品的重要度)和
            //(不选第i个：直接第i-1件物品，j容量时的重要度值)中的最大值。
        }
    }
    cout<<dp[N][V]<<endl;
    return 0;//give me five
}