12.16+树上倍增法求LCA

树上倍增求LCA的步骤：

1.预处理：节点的深度d、到根节点的距离dist、该点向上走2^k步能够到达的点：f数组。

2.lca：

①.将两个节点调整到同一个深度，只调整深的那个即可。

②.如果①结束后，这两个点重合，说明该点就是所求的点。

③.否则，从大往小开始试跳跃的步数，直至将这两个点调整为目标点的两个子节点。最后两点的父节点

就是所求的LCA。

例题：HDU 2568：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2586

题意：给一颗n个点的树以及n-1条边的权值，m次查询，查询指定两个点之间的距离。

分析：

树之间的路径肯定就是两点之间的最短路了，但是如果弗洛伊德算法40000*40000*10会超时，dijkstra算法的话15*200*40000*10也会超时。所以那几个求最短路的算法都不能用了。

然后根据题解，用 LCA的方法时间复杂度 o（（N+M）logN）。

因为x到y的距离，可以看做x到根节点的距离+y到根节点的距离-2*LCA到根节点的距离。所以可以先求LCA，又因为树作为特殊的图，两节点之间有且仅有一条通路且一定为最短路，所以求深度、求最短路的操作是可以同时进行的（spfa，dijkstra均可以），最后，套用上面的公式即出结果。

AC代码：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include<algorithm>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<ctime>
#define ll long long
using namespace std;
const int SIZE=50010;
int f[SIZE][20],d[SIZE],dist[SIZE];
int ver[2*SIZE],Next[2*SIZE],edge[2*SIZE],head[SIZE];
int T,n,m,tot,t;
queue <int> q;
void add(int x,int y,int z)
{
    ver[++tot]=y;
    edge[tot]=z;
    Next[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
}
void bfs()//预处理，求深度、最短路，f数组；就是SPFA，时间复杂度O（NlogN）
{
    q.push(1);
    d[1]=1;
    while(q.size())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=Next[i])
        {
            int y=ver[i];
            if(d[y])continue;
            d[y]=d[x]+1;   //求节点的深度；
            dist[y]=dist[x]+edge[i];//距离根节点的距离；
            f[y][0]=x;
            for(int j=1;j<=t;++j)
            {
                f[y][j]=f[f[y][j-1]][j-1];//动态规划，y点 跳（2^j）步 能到达哪个点。
                //cout<<y<<" "<<j<<" "<<f[y][j]<<endl;
                q.push((y));
            }
        }
    }
}
int lca(int x,int y)//求LCA，时间复杂度：o（Log（N））
{
    if(d[x]>d[y])swap(x,y);
    for(int i=t;i>=0;--i)//倒着走******
        if(d[f[y][i]]>=d[x])y=f[y][i];
    if(x==y)return x;
    for(int i=t;i>=0;--i)
        if(f[x][i]!=f[y][i])x=f[x][i],y=f[y][i];//注意一下：x是不断变化的，而i整个一套下来；
    return f[x][0];//一直更新，直至x、y为目标点下面的那两个点；
}
int main()
{
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n>>m;
        t=(int)(log(n))/log(2)+2; //这里限制向上的最大步数，为什么是这个？不知道.
        cout<<t<<endl;
        for(int i=0;i<=n;++i)head[i]=d[i]=0;
        tot=0;
        for(int i=1;i<n;++i)
        {
            int x,y,z;
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            add(x,y,z);
            add(y,x,z);
        }
        bfs();//就是一个求最短路的spfa，同时求深度和f数组的值

        while(m--)
        {
            int x,y;
            cin>>x>>y;
            cout<<dist[x]+dist[y]-2*dist[lca(x,y)]<<endl;

        }

    }
    return 0;
}

The end；

12.16+树上倍增法求LCA

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