Problem
题目概要：给定一棵 \(n\) 个节点的树，点有点权，进行 \(m\) 次路径取\(\max\)的操作，最后统一输出点权
\(n\leq 10^5,m\leq 5\times 10^6\)
Thoughts
今天闲来无事想到的题目，然后就出出来了
我的做法复杂度是\(O(n\log n+m)\)，想把\(O(m\log m)\)卡掉，于是一开始把 \(m\) 开到了\(10^7\)，后来发现由于常数过大，导致需要跑\(7s\) 虽然其他做法都跑不出来，然后就把数据开小到\(5\times 10^6\)，本机\(1.5s\)
后来有人利用stl超高速的\(sort\)过了这题，但需要\(O(m)\)的空间，同样可以卡掉 但凭借着与\(m\)无关的空间复杂度，还是可以将其卡掉
Solution
首先这题有个可并堆的\(O(m\log m)\)的做法，并过不去
算了，还是讲我的做法，这是一个预处理\(O(n\log n)\)，单次操作\(O(1)\)的做法
首先套路地将路径按照\(lca\)进行拆分，然后将可以利用st表进行区间标记
由于st表是利用两个可重区间将整个区间进行覆盖，需要找到对应的区间端点的位置，在序列上可以直接找下标，但在树上呢……直接找\(k\)祖先！
好了，其实这就是一道st表找lca+长链剖分求\(k\)祖先+st表逆向应用的三合一（其实这些操作之间可以共用许多东西）
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void read(int&x){
char c11=getchar();x=0;while(!isdigit(c11))c11=getchar();
while(isdigit(c11))x=x*10+c11-'0',c11=getchar();
}
inline void cmax(int&A,int B){A=A>B?A:B;}
const int N=100003;
struct Edge{int v,nxt;}a[N+N];
int head[N],n,m,_;
inline void ad(){
int u,v;read(u),read(v);
a[++_].v=v,a[_].nxt=head[u],head[u]=_;
a[++_].v=u,a[_].nxt=head[v],head[v]=_;
}
namespace data{
typedef long long ll;
const int p=1e9+7;
int u0,u1,v0,v1,w0,w1,i;
inline void reset(){read(u0),read(u1),read(v0),read(v1),read(w0),read(w1);i=0;}
inline void get(int&u,int&v,int&w){
++i;if(i==1){u=u1,v=v1,w=w1;return ;}
u=((ll)i*u1+(ll)(i+1)*u0)%n+1;u0=u1,u1=u;
v=((ll)i*v1+(ll)(i+1)*v0)%n+1;v0=v1,v1=v;
w=((ll)i*w1+(ll)(i+1)*w0)%p+1;w0=w1,w1=w;
}
}
int fa[N],son[N];
int dep[N],len[N],top[N];
int dfs_seq[N+N],dfc;
int in[N],out[N];
void main_dfs(int x,int las){
dep[x]=dep[fa[x]=las]+1;
in[x]=++dfc;dfs_seq[dfc]=x;
for(int i=head[x];i;i=a[i].nxt)
if(a[i].v!=las){
main_dfs(a[i].v,x);
dfs_seq[++dfc]=x;
if(len[a[i].v]>len[son[x]])
son[x]=a[i].v;
}
out[x]=dfc;
len[x]=len[son[x]]+1;
}
namespace ST{
int f[20][N],anc[20][N];
void main(){
for(int i=1;i<=n;++i)
anc[0][i]=fa[i];
for(int j=1;j<20;++j)
for(int i=1;i<=n;++i)
anc[j][i]=anc[j-1][anc[j-1][i]];
}
void print(){
for(int j=19;j;--j)
for(int i=1;i<=n;++i){
cmax(f[j-1][i],f[j][i]);
cmax(f[j-1][anc[j-1][i]],f[j][i]);
}
for(int i=1;i<=n;++i)
printf("%d\n",f[0][i]);
}
}
namespace lca{
int st_f[20][N+N],Log[N+N];
inline int get(int x,int y){
int l = min(in[x], in[y]), r = max(out[x], out[y]);
int w = Log[r-l+1];
int t1=st_f[w][l],t2=st_f[w][r-(1<<w)+1];
return dep[t1]<dep[t2]?t1:t2;
}
void main(){
Log[0]=-1;
for(int i=1;i<=dfc;++i)
st_f[0][i]=dfs_seq[i],Log[i]=Log[i>>1]+1;
for(int l=1,len=1;len<=dfc;++l,len<<=1)
for(int i=1;i+len-1<=dfc;++i)
st_f[l][i]=dep[st_f[l-1][i]]<dep[st_f[l-1][i+len]]?st_f[l-1][i]:st_f[l-1][i+len];
return ;
}
}
namespace kth_anc{
const int ks=5;
int up[N*ks],down[N*ks];
int hbit[N];
int tot_up,tot_down;
int down_be[N];
int up_be[N];
inline int get(int x,int k){
if(!k)return x;
int t=hbit[k];
x=ST::anc[t][x];
k-=(1<<t)+dep[x]-dep[top[x]];
x=top[x];
if(!k)return x;
if(k>0)return up[up_be[x]+k];
return down[down_be[x]-k];
}
void dfs(int x,int Top){
top[x]=Top;
if(son[x])dfs(son[x],Top);
for(int i=head[x];i;i=a[i].nxt)
if(a[i].v!=fa[x] and a[i].v!=son[x])
dfs(a[i].v,a[i].v);
}
void main(){
dfs(1,1);
for(int i=1;i<=n;++i)
if(top[i]==i){
int x=i,t=min(len[x],dep[x]);
up_be[i]=tot_up;
while(t--)up[++tot_up]=fa[x],x=fa[x];
x=i,t=len[x];
down_be[i]=tot_down;
while(t--)down[++tot_down]=son[x],x=son[x];
}
for(int i=1;i<=n;++i)hbit[i]=-1;
for(int j=20;~j;--j)
for(int i=1<<j;i<=n;++i)
if(-1==hbit[i])
hbit[i]=j;
}
}
void solve(int o,int x,int w){
int dis=dep[x]-dep[o]+1,t=lca::Log[dis];
cmax(ST::f[t][x],w);
if(dis==(1<<t))return ;
x=kth_anc::get(x,dis-(1<<t));
cmax(ST::f[t][x],w);
}
int main(){
read(n),read(m);
for(int i=1;i<=n;++i)read(ST::f[0][i]);
for(int i=1;i<n;++i)ad();
main_dfs(1,0);
ST::main();
lca::main();
kth_anc::main();
data::reset();
for(int i=1;i<=m;++i){
int x,y,w,o;
data::get(x,y,w);
o=lca::get(x,y);
solve(o,x,w),solve(o,y,w);
}
ST::print();
return 0;
}