雅可比迭代和高斯赛德迭代的比较

其他 2019-01-19 08:50:58 阅读次数: 0

实验要求：

分别用雅可比算法和高斯-塞德尔算法求解给定的线性方程组。

函数接口定义：

int Jacobi( int n, double a[][MAX_SIZE], double b[], double x[], double TOL, int MAXN );

int Gauss_Seidel( int n, double a[][MAX_SIZE], double b[], double x[], double TOL, int MAXN );

两函数的接口定义是一致的：n为矩阵a的维数，MAX_SIZE是由裁判程序定义的矩阵最大维数，b是方程组中的常向量，x传入叠代初始向量，求得的解将存储在x中返回；TOL是需要达到的精度上限，MAXN是叠代最大次数。函数的返回值为整数，有以下4种可能：

  • -2：若迭代算法不收敛。这里判断不收敛的根据是当的某个分量值超出了最大区间[-bound, bound]，其中bound是由裁判程序定义的常数；
  • -1：若矩阵有一列全为0，则方程组没有唯一解；
  • 0：若算法经过MAXN次叠代后还没有达到精度要求；
  • K：若算法经过K次叠代达到了精度要求。这时求得的解存储在x中。

这里必须注意到，如我们在第五章中讨论过的，在两种算法的公式中，A的对角元aii都出现在分母上，所以为了算法的稳定，我们必须采取措施使得对角元的绝对值尽可能大。因为叠代中A不改变，所以我们可以事先调整好A的对角元。

不同的调整策略可能导致不同的收敛性，本书裁判程序要求的调整策略是：对每

个aii，首先向下扫描该列元素（包括aii）中绝对值最大的那个元，若该元不为0，则通过行交换将该元换到aii的位置。若该元为0，则向上扫描该列元素中绝对值最大的那个元，若该元不为0，则将该元所在行的全部元加到第i行。

实验算法：

雅可比迭代：

高斯赛德迭代：

即在雅可比迭代的基础上，在计算用已经算出来的替换

可能会获得更好的收敛效果。

实验代码：

#include<stdio.h>
#include<math.h>

#define MAX_SIZE 100 /* 矩阵最大维数 */
#define MAX_length 1000
#define bound pow(2, 127) /* 判断叠代发散的边界值 */
#define ZERO 0.000000001 /* 当一个正数小于ZERO就认为该数是0 */
/*做对角元变换，求系数矩阵B和常数项量f*/
double max(double a,double b)
{
    if(a>b)
      return a;
    else
      return b;
}
int maix(double a[][MAX_SIZE],double b[],double L[][MAX_SIZE],int n)
{
    int i,k,m;
    double t,tmp;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        t=0;
        for(k=i;k<n;k++)
          if(fabs(a[k][i])>t)
          {
              t=fabs(a[k][i]);
              m=k;
          }
        if(t!=0)
        {
           if(m!=i)
           {
            for(k=0;k<n;k++)
            {
              tmp=a[i][k];
              a[i][k]=a[m][k];
              a[m][k]=tmp;
            }
            tmp=b[i];
            b[i]=b[m];
            b[m]=tmp;
           }
        }
        else
        {
          for(k=0;k<i;k++)
            if(fabs(a[k][i])>t)
          {
              t=fabs(a[k][i]);
              m=k;
          }
          if(t==0)
            return 1;
          else
             {
               for(k=0;k<n;k++)
               {
               a[i][k]=a[m][k]+a[i][k];
               }
               b[i]=b[m]+b[i];
             }
        }
    }
    /*for(i=0;i<n;i++)
    {
        for(k=0;k<n;k++)
          printf("%.10f ",a[i][k]);
        printf("\n");
    }
    printf("\n");*/
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        b[i]=b[i]/a[i][i];
        for(k=0;k<n;k++)
        {
          if(k==i)
           L[i][k]=0;
          else
           L[i][k]=-a[i][k]/a[i][i];
        }
    }
    /*for(k=0;k<n;k++)
      printf("%.10f ",b[k]);
    printf("\n");
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        for(k=0;k<n;k++)
          printf("%.10f ",L[i][k]);
        printf("\n");
    }*/
    return 0;
}


int Jacobi( int n, double a[][MAX_SIZE], double b[], double x[], double TOL, int MAXN )
{
    double L[MAX_SIZE][MAX_SIZE],xm[MAX_length][MAX_SIZE],f[MAX_SIZE],aa[MAX_SIZE][MAX_SIZE];
    double e;
    int i,k,m;
    for(i=0;i<n;i++)
      for(k=0;k<n;k++)
        aa[i][k]=a[i][k];
    for(k=0;k<n;k++)
      f[k]=b[k];
    if(maix(aa,f,L,n))
      return -1;
    m=0;
    for(i=0;i<n;i++)
      xm[0][i]=x[i];
    for(;;)
    {
      m++;
      e=0;
      for(i=0;i<n;i++)
      {
          double s=f[i];
          for(k=0;k<n;k++)
            s=s+L[i][k]*xm[m-1][k];
          if(s>=-bound&&s<=bound)
              xm[m][i]=s;
          else
             return -2;
          e=max(fabs(xm[m][i]-xm[m-1][i]),e);
      }
      /*printf("x%d=",m);
      for(i=0;i<n;i++)
         printf("%.10f ",xm[m][i]);
      printf("\n");*/
      if(e<TOL||m>MAXN)
        break;
    }
    if(m<=MAXN)
    {
      for(i=0;i<n;i++)
       x[i]=xm[m][i];
      return m;
    }
    else
      return 0;
}


int Gauss_Seidel ( int n, double a[][MAX_SIZE], double b[], double x[], double TOL, int MAXN )
{
    double L[MAX_SIZE][MAX_SIZE],xm[MAX_length][MAX_SIZE],f[MAX_SIZE],aa[MAX_SIZE][MAX_SIZE];
    double e;
    int i,k,m;
    for(i=0;i<n;i++)
      for(k=0;k<n;k++)
        aa[i][k]=a[i][k];
    for(k=0;k<n;k++)
      f[k]=b[k];
    if(maix(aa,f,L,n))
      return -1;
    m=0;
    for(i=0;i<n;i++)
       xm[0][i]=x[i];
   for(;;)
   {
      m++;
      e=0;
      for(i=0;i<n;i++)
      {
          double s=f[i];
          for(k=0;k<n;k++)
            if(k<i)
               s=s+L[i][k]*xm[m][k];
            else
               s=s+L[i][k]*xm[m-1][k];
          if(s>=-bound&&s<=bound)
             xm[m][i]=s;
          else
             return -2;
          e=max(fabs(xm[m][i]-xm[m-1][i]),e);
      }
      /*printf("x%d=",m);
      for(i=0;i<n;i++)
         printf("%.10f ",xm[m][i]);
      printf("\n");
      /*printf("e=%.8f\n",e);*/
      if(e<TOL||m>MAXN)
        break;
    }
    if(m<=MAXN)
    {
      for(i=0;i<n;i++)
       x[i]=xm[m][i];
      return m;
    }
    else
      return 0;


}
int main()
{
  int n, MAXN, i, j, k;
  double a[MAX_SIZE][MAX_SIZE], b[MAX_SIZE], x[MAX_SIZE];
  double TOL;

  while ( scanf("%d", &n) != EOF ) { /* 读取裁判测试用例 */
    for ( i=0; i<n; i++ ) {
      for ( j=0; j<n; j++ )
        scanf("%lf", &a[i][j]);
      scanf("%lf", &b[i]);
    }
    scanf("%lf %d", &TOL, &MAXN);
    /*Jacobi( int n, double a[][MAX_SIZE], double b[], double x[], double TOL, int MAXN )*/
    /* 输出雅可比算法的结果 */
    printf("Result of Jacobi method:\n");
    for ( i=0; i<n; i++ )
      x[i] = 0.0;
    k = Jacobi( n, a, b, x, TOL, MAXN );
    switch ( k ) {
      case -2:
        printf("No convergence.\n");
        break;
      case -1:
        printf("Matrix has a zero column. No unique solution exists.\n");
        break;
      case 0:
        printf("Maximum number of iterations exceeded.\n");
        break;
      default:
        printf("no_iteration = %d\n", k);
        for ( j=0; j<n; j++ )
          printf("%.8lf\n", x[j]);
        break;
    }

    /* 输出高斯-塞德尔算法的结果 */
    printf("Result of Gauss-Seidel method:\n");
    for ( i=0; i<n; i++ )
      x[i] = 0.0;
    k = Gauss_Seidel( n, a, b, x, TOL, MAXN );
    switch ( k ) {
      case -2:
        printf("No convergence.\n");
        break;
      case -1:
        printf("Matrix has a zero column. No unique solution exists.\n");
        break;
      case 0:
        printf("Maximum number of iterations exceeded.\n");
        break;
      default:
        printf("no_iteration = %d\n", k);
        for ( j=0; j<n; j++ )
          printf("%.8lf\n", x[j]);
        break;
    }
    printf("\n");
  }
  return 0;
}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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