题目大意
有 \(n\) 个 \(n\) 维空间中的球，求这些球的所有公切面。
保证不会无解或有无穷多组解。
\(n\leq 10\)
题解
你可以认为这是一道传统题。
记公切面为 \(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+ a_nx_n=d\)，满足 \(\sum_ia_i^2=1\)。
一个点 \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) 到这个面的距离为
\[ \frac{\lvert a_1x_1+a_2x_2\cdots +a_nx_n-d\rvert}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}} \]
对于第 \(i\) 个球，有 \(\lvert\sum_{j}a_jx_{i,j}-d\rvert=r\)。
枚举所有 \(\lvert\sum_{j}a_jx_{i,j}-d\rvert\) 的符号，把绝对值符号去掉。
然后解方程解出 \(a_i=D_1d+D_2\)，带进 \(\sum_ia_i^2=1\) 中解方程就可以解出 \(d\)。
时间复杂度：\(O(n^32^n)\)。
直接解方程可能会有奇怪情况，所以要把所有坐标偏移一个值。
代码
const ldb eps=1e-6;
ldb DELTA[]={0,0.235,0.3746,0.1246,0.2153,0.364,0.1253,0.6124,0.164,0.7543,0.35476};
int n;
ldb a[20][20];
ldb r[20];
ldb ans[2100][20][20];
ldb b[20][20];
ldb c[20][20];
ldb e[20];
int cnt;
void gao(ldb d)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
e[i]=c[i][n+1]*d+c[i][n+2];
cnt++;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
ldb s=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
s+=a[i][j]*e[j];
s-=d;
for(int j=1;j<=n;j++)
ans[cnt][i][j]=a[i][j]-s*e[j];
}
}
void calc()
{
memcpy(c,b,sizeof b);
int flag=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int x=i;
for(int j=i;j<=n;j++)
if(fabs(c[j][i])>fabs(c[x][i]))
x=j;
if(fabs(c[x][i])<eps)
{
flag=1;
continue;
}
if(x!=i)
swap(c[x],c[i]);
ldb v=1/c[i][i];
for(int j=1;j<=n+2;j++)
c[i][j]*=v;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(j!=i)
{
ldb v=c[j][i];
for(int k=1;k<=n+2;k++)
c[j][k]-=c[i][k]*v;
}
}
if(flag)
{
// ldb d;
// for(int i=1;i<=n;i++)
// if(!c[i][i])
// {
// if(flag)
// {
// }
// else
// {
// }
printf("error\n");
return;
}
ldb A=0,B=0,C=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
A+=c[i][n+1]*c[i][n+1];
B+=2*c[i][n+1]*c[i][n+2];
C+=c[i][n+2]*c[i][n+2];
}
C-=1;
if(fabs(A)<eps)
{
if(fabs(B)<eps)
{
return;
}
ldb d=-C/B;
gao(d);
}
else
{
ldb delta=B*B-4*A*C;
if(delta<-eps)
return;
else
delta=max(delta,(ldb)0);
if(delta<eps)
{
ldb d=-B/(2*A);
gao(d);
}
else
{
ldb d1=(-B+sqrt(delta))/(2*A);
gao(d1);
ldb d2=(-B+sqrt(delta))/(2*A);
gao(d2);
}
}
}
void dfs(int x)
{
if(x>n)
{
calc();
return;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
b[x][i]=a[x][i];
b[x][n+1]=1;
b[x][n+2]=r[x];
dfs(x+1);
if(fabs(r[x])<eps)
return;
b[x][n+2]=-r[x];
dfs(x+1);
}
void solve()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
scanf("%Lf",&a[i][j]);
a[i][j]-=DELTA[j];
}
scanf("%Lf",&r[i]);
}
cnt=0;
dfs(1);
printf("%d\n",cnt);
for(int i=1;i<=cnt;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
{
for(int k=1;k<=n;k++)
printf("%.20Lf ",ans[i][j][k]+DELTA[k]);
printf("\n");
}
}
int main()
{
// freopen("0.in","r",stdin);
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
solve();
return 0;
}