后缀数组(SA)总结

后缀数组(SA)总结

这个东西鸽了好久了，今天补一下

概念

后缀数组\(SA\)是设什么东西？
它是记录一个字符串每个后缀的字典序的数组
\(sa[i]\):表示排名为\(i\)的后缀是哪一个。
\(rnk[i]\):可以理解为\(SA\)数组的逆，记录后缀\(i\)的排名是多少，\(rnk[SA[i]]=i\)。
\(lcp[i]\):别人一般叫\(height\)，表示后缀\(SA[i]\)与\(SA[i-1]\)的最长公共前缀的长度。

后缀排序

求出后缀数组的算法，模板题

代码

先上代码，便于理解

#define cmp(i, j, k) (y[i] == y[j] && y[i + k] == y[j + k])
void Get_SA() {
    static int x[MAX_N], y[MAX_N], bln[MAX_N];
    int M = 122; 
    for (int i = 1; i <= N; i++) bln[x[i] = a[i]]++; 
    for (int i = 1; i <= M; i++) bln[i] += bln[i - 1]; 
    for (int i = N; i >= 1; i--) sa[bln[x[i]]--] = i; 
    for (int k = 1; k <= N; k <<= 1) { 
        int p = 0; 
        for (int i = 0; i <= M; i++) y[i] = 0; 
        for (int i = N - k + 1; i <= N; i++) y[++p] = i; 
        for (int i = 1; i <= N; i++) if (sa[i] > k) y[++p] = sa[i] - k;
        for (int i = 0; i <= M; i++) bln[i] = 0; 
        for (int i = 1; i <= N; i++) bln[x[y[i]]]++; 
        for (int i = 1; i <= M; i++) bln[i] += bln[i - 1]; 
        for (int i = N; i >= 1; i--) sa[bln[x[y[i]]]--] = y[i]; 
        swap(x, y); x[sa[1]] = p = 1;
        for (int i = 2; i <= N; i++) x[sa[i]] = cmp(sa[i], sa[i - 1], k) ? p : ++p;
        if (p >= N) break;
        M = p; 
    } 
} 

算法流程

求\(sa\)的算法有倍增法和\(DC3\)，因为后者有码量大、常数大、我不会等种种缺点，
这里只介绍倍增算法。
我们如果对于每个倍增完的二元组，每个都\(sort\)一下，复杂度是\(O(nlog^2)\)的。
那么将基数排序应用到其中去，就可以做到\(O(nlogn)\)，具体做法：
我们考虑一下普通的基数排序是怎么排二元组
先将第二位丢进桶里，然后按照第一维的次序取出。
那么这个字符串怎么排呢？
首先当\(k=0\)时，我们直接按照上面说的排一下就行了。
但是我们还要接着排啊，
还记得吧，基排序是先按照第二维从小往大排
那么，我们就先把第二维的顺序搞出来
首先最小的一定就是没有第二维的东西
所以我们先把这些数直接丢进数组里面
接下来就是有第二维的东西啦
第\(i\)位的第二维是啥？\(rnk[i+k]\)
所以，从小到达枚举\(sa\)，这样保证第二维从小往大
那么，只要\(sa[i]>k\)
就证明它是一个东西的第二维
所以，把\(sa[i]−k\)
丢到数组里面去就好啦
这样的话，按照第二维就拍好啦
再来依次按照第一维丢到桶里面去
做一遍基数排序就好啦
这样就能够求出\(sa\)啦
看起来很简单诶。。
只是数组不要搞混了
一定搞清楚每个数组是干啥的
比如我的代码
\(sa\)是后缀数组，\(sa[i]\)表示排名为i的串是哪一个
\(rnk[i]\)相当于排名，\(rnk[i]\)表示第i个串的排名
\(x,y\)两个数组是记录顺序的
分别记录第一维和第二维的排序的顺序
\(bln\)是桶。
如果实在理解不了，就背吧，反正也没有多长
那么\(lcp\)数组怎么求呢？
取\(\forall i<j\),不妨设\(rnk[j]<rnk[k]\),那么以\(j\)开头的后缀和\(k\)开头的后缀的最长公共前缀就是\(\min _{i=rnk[j]+1}^{rnk[k]} lcp[i]\)。
有一个引理：
定义\(h[i]=lcp[rnk[i]]\)，那么，\(h[i]\geq h[i-1]-1\)

证明：设\(s[k...]\)为排在\(s[i-1...]\)的前一名的后缀，其最长公共前缀为\(h[i-1]\),则\(s[k+1...]\)与\(s[i...]\)的最长公共前缀显然大于等于\(h[i-1]-1\)，原结论得证。

然后这样求就可以了：

    for (int i = 1; i <= N; i++) rnk[sa[i]] = i; 
    for (int i = 1, j = 0; i <= n; i++) { 
        if (j) j--; 
        while (a[i + j] == a[sa[rnk[i] - 1] + j]) ++j; 
        lcp[rnk[i]] = j; 
    }

一些\(trick\)

总结蒯了一些食用SA时的\(trick\)：
一、对于可重复的最长重复子串问题（若子串\(s\)重复出现次数大于等于二，则称重复子串）\(Ans=\max_{i=1}^nlcp_i\)。
二、对于不可重叠的最长重复子串问题，二分，将问题转化为是否有两个长度为\(k\)的子串是相同的，且不重叠。将\(lcp\)数组分组，最长公共前缀不小于\(k\)的为一组其中如果有一组\(sa[i]\)之差大于\(k\)时，则成立。
三、对于可重叠的重复\(k\)次最长重复子串，与上一种方法思路相似，二分，问题转化为判断是否存在\(k\)个长度为\(l\)的子串是相同的，将最长公共子串大于\(l\)的后缀分为一组，查看每一组内后缀个数是否大于\(k\)。
四、对于多个字符串的问题，通常用一个原串中不会出现的字符讲两个字符串连接为一个。对于最长公共子串问题，首先将两个字符串用一个未出现过的字符连接起来，然后求出它们的最长公共前缀，解时注意判断是否在间隔符两边。
五、求取长度不小于\(k\)的公共子串个数时，将两个字符串按照上述方法连接，中间用一个未曾出现过的字符隔开，计算所有后缀之间最长公共前缀的长度，用单调栈维护最长公共前缀的长度。
六、对于在多个字符串中，出现不小于\(k\)个字符串的最长公共子串。按照上述方法连接多个字符串后，使用二分法。对于给定的长度，先分组，判断每组字符串后缀是否出现在不同的\(k\)个字符串中。
七、对于在每个字符串中至少出现两次且不重叠的最长公共子串时，按照上述方法连接多个字符串，使用二分法。对于给定的长度，先分组，判断是否有一组包含每个字符串中的两个不重叠答案。

一些后话

我还不太熟悉，题目暂未整理出来。
以后会提供每个\(trick\)的例题及一些题单。
如有错漏之处，请联系作者。

参考文章：
yyb的博客 https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/8335194.html
清华大学出版社《ACM/ICPC算法基础训练教程》第8章