一. 题目描述
给定一个非负整数 num，反复将各个位上的数字相加，直到结果为一位数。
示例:
输入: 38
输出: 2
解释: 各位相加的过程为：3 + 8 = 11, 1 + 1 = 2。 由于 2 是一位数，所以返回 2。
进阶:
你可以不使用循环或者递归，且在 O(1) 时间复杂度内解决这个问题吗？
二. 代码
emmm， 拿到这道题， 瞬间就想到了循环的解法，感叹，这是一道多么简单的题目，然后， 直接翻到进阶的要求， 直接傻眼了，这要怎么才能实践O(1)？这里面难道还有什么深藏的数学不成。
然后， 翻了一些博客， 发现，真的藏着其数学特性。这里先贴一下代码。（最后附有代码出处）
/**
* 功能说明：LeetCode 258 - Add Digits
* 开发人员：Tsybius2014
* 开发时间：2015年8月25日
*/
public class Solution {
/**
* 给定整数不断将它的各位相加，直到相加的结果小于10，返回结果
* @param num
* @return
*/
public int addDigits(int num) {
return (num - 1) % 9 + 1;
}
}三. 解析
1. 这个解法，乍一看，我是懵的，凭什么对9求余，就可以直接得到结果了。所以，我就好好学习了一把。
2. 为了方便后续翻看我参考的文章（其实也可以说是转载了）， 我也一样假设输入的数字是一个5位数字num，那么num的各位分别为a、b、c、d、e。
有如下关系：num = a * 10000 + b * 1000 + c * 100 + d * 10 + e
即：num = (a + b + c + d + e) + (a * 9999 + b * 999 + c * 99 + d * 9)
其中，a * 9999 + b * 999 + c * 99 + d * 9 一定可以被9整除，也就是说 num % 9 == ( a + b + c + d + e ) % 9。
3. 我们可以继续假设 num2 = ( a + b + c + d + e )，那么这个num2的位数最大不超过两位，不失一般性，这里假设num2为2位数。
则根据第二步的推论，可得出： num2 = k1 * 10 + k2
即： num2 = (k1 + k2) + ( k1 * 9 )
最终得出：num2 % 9 == (k1 + k2) % 9， 那么到这里就比较明朗了，由于 (k1 + k2) < num2 ( k1 > 0 的情况下)， 只要不断迭代下去最终k1 + k2 < 10 的情况必定会出现，而我们需要保留的就是最终这个k1 + k2 的值。
4. 由以上的推到可以得出，num % 9 == (k1 + k2) % 9，且k1 + k2 < 10 的情况就是我们需要的结果。而当k1 + k2 < 9时， k1 + k2 % 9 == k1 + k2，但是这个式子并不能适应于k1 + k2 == 9的情况，所以修改了一下，就变成了( k1 + k2 - 1 ) % 9 + 1 的形式。转换一下，就是(num - 1) % 9 + 1 == ( k1 + k2 - 1) % 9 + 1。