【SPOJ 5971】LCMSum

【题目】

洛谷传送门

Description

Given n, calculate the sum LCM(1,n) + LCM(2,n) + … + LCM(n,n), where LCM(i,n) denotes the Least Common Multiple of the integers i and n.

Input

The first line contains T the number of test cases. Each of the next T lines contain an integer n.

Output

Output T lines, one for each test case, containing the required sum.

Sample Input

3
1
2
5

Sample Output

1
4
55

Hint

Constraints 1 <= T <= 300000 1 <= n <= 1000000

【分析】

我们要求的是

$\sum_{i=1}^nlcm(i,n)$

把 $lcm$ 换成 $gcd$ 就是

$\sum_{i=1}^n\frac{i\times n}{\gcd(i,n)}$

这个式子可以巧妙的转换成

$\frac{1}{2}(\sum_{i=1}^{n-1}\frac{i\times n}{\gcd(i,n)}+\sum_{i=1}^{n-1}\frac{(n-i)\times n}{\gcd(n-i,n)})+n$

根据辗转相减法， $\gcd(i,n)=\gcd(n-i,n)$，因此可以继续化简

$\frac1 2\sum_{i=1}^{n-1}\frac{n^2}{\gcd(i,n)}+n$

也就是说，我们现在的目标就是求出

$\sum_{i=1}^{n-1}\frac{n^2}{\gcd(i,n)}$

我们枚举 $\gcd$，把式子转化成

$\sum_{d|n}\frac{n^2}{d}\sum_{i=1}^{n-1}[\;\gcd(i,n)=d\;]$

转换为 $\gcd=1$ 的形式

$\sum_{d|n}\frac{n^2}{d}\sum_{i=1,i\ne n}^{\frac{n}{d}}[\;\gcd(i,\frac{n}{d})=1\;]$

发现后面部分跟欧拉函数的解析式一样（ $\varphi(n)=\sum\limits_{i=1}^n[\;\gcd(i,n)=1\;]$）

用欧拉函数转换一下就是

$\sum_{d|n,d\ne n}\frac{n^2\times \varphi(\frac{n}{d})}{d}$

把一个 $n$ 提出来，也就是

$n\sum_{d|n,d\ne n}\frac{n}{d}\times\varphi(\frac{n}{d})=n\sum_{d|n,d\ne1}d\times \varphi(d)$

然后线性筛出欧拉函数值，预处理一下就可以了。

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 1000005
using namespace std;
bool mark[N];
int prime[N],phi[N];
long long ans[N];
void linear_sieves()
{
	int i,j,sum=0;
	memset(mark,true,sizeof(mark));
	mark[0]=mark[1]=false;phi[1]=1;
	for(i=2;i<N;++i)
	{
		if(mark[i])  prime[++sum]=i,phi[i]=i-1;
		for(j=1;j<=sum&&i*prime[j]<N;++j)
		{
			mark[i*prime[j]]=false;
			if(i%prime[j])  phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
			else  {phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
		}
	}
}
void prework()
{
	int i,j;
	for(i=1;i<N;++i)
	  for(j=2;i*j<N;++j)
	    ans[i*j]+=1ll*j*phi[j];
	for(i=1;i<N;++i)  ans[i]=ans[i]*i/2+i;
}
int main()
{
	int n,i,x;
	scanf("%d",&n);
	linear_sieves();
	prework();
	for(i=1;i<=n;++i)
	{
		scanf("%d",&x);
		printf("%lld\n",ans[x]);
	}
	return 0;
}