SP5971 LCMSUM - LCM Sum(欧拉函数，公式推导)

SP5971 LCMSUM - LCM Sum

题意：求

推式子

$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^{n}lcm(i,n) \\ \sum _{i=1}^n\frac{in}{gcd(i,n)} \\ n\sum _{i=1}^n\frac{i}{gcd(i,n)} \\ n\sum _{d\mid n}\sum _{i=1}^n\frac{i}{d}[gcd(i,n)=d] \\ n\sum _{d\mid n}\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}i[gcd(i,\frac{n}{d})=1] \\ n\sum _{d\mid n}\frac{(\varphi (d)+[d=1])\times d}{2} \end{gathered}$$

第一个式子就是问题；
第二个式子就是把$lcm$拆开；
第三个式子就是把常数n提出去；
第四个式子就是枚举一下n的全部因子，就可以化成第四个式子的样子；
第五个式子就是把d从$[[gcd(i,n)=d]$里面提出去，然后取值范围，枚举的数$\frac{i}{d}$变成$i$和$[gcd(i,n)=d]$变成$[gcd(i,\frac{n}{d})=1]$；
第六个式子就是利用欧拉函数的一个性质：$如果gcd(i,n)=1，则gcd(n-i,n)=1(i\ne 1)$，然后就可以化成第六个式子了；
结束

$Code$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
typedef long long ll;
ll st[N], p[N], phi[N], sum[N], ans[N], tot;
//phi：欧拉函数，sum函数第六个公式中的欧拉函数phi*d，ans是存放答案的数组；
void init() {
    
    
    phi[1] = 1, st[1] = 1, sum[1] = 1;//sum[1]=1,把d=1的情况考虑了进去
    for(int i=2; i<N; i++) {
    
    
        if(!st[i]) p[tot++] = i, phi[i] = i-1, sum[i] = 1ll*phi[i]*i/2;
        for(int j=0; j<tot&&i*p[j]<N; j++) {
    
    
            st[i*p[j]] = 1;
            if(i % p[j] == 0) {
    
    
                phi[i*p[j]] = phi[i]*p[j];
                sum[i*p[j]] = 1ll*phi[i*p[j]]*(i*p[j])/2; 
                break;
            }
            phi[i*p[j]] = phi[i]*(p[j]-1);
            sum[i*p[j]] = 1ll*phi[i*p[j]]*(i*p[j])/2; 
        }
    }
    //类埃氏筛，把n的全部因子d加起来ans[n]+=sum[d];
    for(int i=1; i<N; i++) {
    
    
        for(int j=i; j<N; j+=i)
        ans[j] += sum[i];
    }
}
inline ll read() {
    
    //快读
    ll x = 0, f = 1; char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') {
    
    
        if(c == '-') f = -1;
        c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') {
    
    
        x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
    return x * f;
}

int main() {
    
    
    init();//初始化
    ll t;
    t = read();
    while(t--) {
    
    
        int n;
        n = read();
        printf("%lld\n", ans[n]*n);
    }
    return 0;
}

End