从八皇后问题看回溯法

八皇后问题是入门回溯法的经典问题,本文借用八皇后问题来阐述一下笔者对于八皇后问题的一些看法。

在我看来,回溯法有点像高中时候的排列组合,都是可以在有限的步骤中完成,而每一步有只有有限的选择,这句话也构成了回溯法的核心。

每一次成功的放置,代表着解答树上某一个节点的产生:下面结合八皇后问题来描述

先来看代码

//回溯法用于可以在有限的步骤中得到结果,而每一步又只有有限次的选择的情况
//解答树可以这样来理解,解答树的每一个节点是在它的那一步看起来是正确的合理的。
//其实一个完整的解答树(包括哪些失败的不合理的点)是把每一步的每一个选择都作为了一个节点,虽然其中有失败的节点。
//回溯法的作用就是找出(不完整的解答树)
//提高效率的方式?在判断是否符合条件的操作上下功夫
//比如说在求全排列的时候,DFS比next_permutation效率高的原因?
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<ctime>
using namespace std;

const int maxn = 50 + 5;
int tot = 0;
int n;
int vis[3][maxn];


void search(int cur)
{
    if(cur == n)
        tot++;
    else 
    {
        for(int i = 0;i < n;i++)
        {
            if(!vis[0][i] && !vis[1][cur + i] && !vis[2][cur - i + n])
            {
                vis[0][i] = vis[1][cur + i] = vis[2][cur - i + n] = 1;
                search(cur + 1);
                vis[0][i] = vis[1][cur + i] = vis[2][cur - i + n] = 0;
            }
        }
    }
}


int main()
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    n = 8;
    search(0);
    printf("%d\n",tot);return 0;
}

首先,完成八皇后问题只需要八步,当然对应于上面这个函数search中的形参cur.

每一步的选择有多少种呢?在八皇后问题中,第i步的,代表要往第i行(行号和步骤号都从0开始)放置皇后,而每一步实际上都有8种选择,因为只能往0~7列上放置皇后。所以完整的(包括了失败的节点)解答树应该是一棵8叉完全树。但是,在这些选择中并不是每一种选择都是成功的,有的在本步就可以确定是错误的,有的需要结合后面几步来判断是不是正确的,但总的来说,只有当前这一步的选择在当前这一步被认为正确以后,真正意义上的解答树中的节点就生成了。

而回溯的意义就是,当在某一步做完选择之后,不管这一步在整个解答树中看起来是正确的还是错误的,都会去判断这一步的下一种选择,就好像是又弯了回来一样。

解答树中的节点个数是确定的,可以提高效率的地方在:如何迅速的判断在当前这一步中的选择是正确的。

方法有两种:

第一种是去遍历之前已经确定好的哪些行,与当前行的选择做比较,来判断是不是正确的

第二种是直接判断我们想要放皇后的      行/列/主对角线/副对角线   是否可以放置。这需要一个vis的二维数组vis[3][maxn],第一行用来判断列,第二行主对角线,第三行副对角线。

可以明显的看出来,第二种的速度比第一种快多了。

联想到之前的全排列问题:

全排列问题的解决实际上也是回溯法

一共有n个位置需要确定是什么

每个位置上一共有n种选择

在非可重集上的DFS方式中,在n个选择中判断的方式就是vis数组

而在可重集上求排列(next_permutation)中,在n个选择中判断的方式是遍历已经放好元素的cur-1个位置

回溯法需要好好的品味,总的来说只有三步,第一:有几个步骤,第二:每一步有多少种选择,第三:判断这次选择是否符合条件的方式

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转载自www.cnblogs.com/TorettoRui/p/10467558.html