数据结构41：回溯法解决八皇后问题

回溯法(八皇后问题)

回溯法，又被称为“试探法”。解决问题时，每进行一步，都是抱着试试看的态度，如果发现当前选择并不是最好的，或者这么走下去肯定达不到目标，立刻做回退操作重新选择。这种走不通就回退再走的方法就是回溯法。

例如，在解决列举集合 {1,2,3} 中所有子集的问题中，就可以使用回溯法。从集合的开头元素开始，对每个元素都有两种选择：取还是舍。当确定了一个元素的取舍之后，再进行下一个元素，直到集合最后一个元素。其中的每个操作都可以看作是一次尝试，每次尝试都可以得出一个结果。将得到的结果综合起来，就是集合的所有子集。

实现代码为：

#include <stdio.h>

//设置一个数组，数组的下标表示集合中的元素，所以数组只用下标为1，2，3的空间
int set[5];

//i代表数组下标，n表示集合中最大的元素值
void PowerSet(int i,int n)
{
　　//当i>n时，说明集合中所有的元素都做了选择，开始判断
　　if (i>n) 
　　{
　　　　for (int j=1; j<=n; j++) 
　　　　{
　　　　　　//如果树组中存放的是 1，说明在当初尝试时，选择取该元素，即对应的数组下标，所以，可以输出
　　　　　　if (set[j] == 1) 
　　　　　　{
　　　　　　　　printf("%d", j);
　　　　　　}
　　　　}
　　　　printf("\n");
　　}
　　else
　　{
　　　　//如果选择要该元素，对应的数组单元中赋值为1；反之，赋值为0。然后继续向下探索
　　　　set[i] = 1;
　　　　PowerSet(i+1, n);
　　　　set[i] = 0;
　　　　PowerSet(i+1, n);
　　}
}

int main() 
{
　　int n = 3;
　　for (int i=0; i<5; i++) 
　　{
　　　　set[i] = 0;
　　}
　　PowerSet(1, n);
　　return 0;
}

运行结果：
1 2 3
1 2
1 3
1
2 3
2
3

回溯VS递归

很多人认为回溯和递归是一样的，其实不然。在回溯法中可以看到有递归的身影，但是两者是有区别的。

回溯法从问题本身出发，寻找可能实现的所有情况。和穷举法的思想相近，不同在于穷举法是将所有的情况都列举出来以后再一一筛选，而回溯法在列举过程如果发现当前情况根本不可能存在，就停止后续的所有工作，返回上一步进行新的尝试。

递归是从问题的结果出发，例如求 n！，要想知道 n！的结果，就需要知道 n*(n-1)! 的结果，而要想知道 (n-1)! 结果，就需要提前知道 (n-1)*(n-2)!。这样不断地向自己提问，不断地调用自己的思想就是递归。

回溯和递归唯一的联系就是，回溯法可以用递归思想实现。

回溯法与树的遍历

使用回溯法解决问题的过程，实际上是建立一棵“状态树”的过程。例如，在解决列举集合{1,2,3}所有子集的问题中，对于每个元素，都有两种状态，取还是舍，所以构建的状态树为：

图1 状态树

回溯法的求解过程实质上是先序遍历“状态树”的过程。树中每一个叶子结点，都有可能是问题的答案。图 1 中的状态树是满二叉树，得到的叶子结点全部都是问题的解。

在某些情况下，回溯法解决问题的过程中创建的状态树并不都是满二叉树，因为在试探的过程中，有时会发现此种情况下，再往下进行没有意义，所以会放弃这条死路，回溯到上一步。在树中的体现，就是在树的最后一层不是满的，即不是满二叉树，需要自己判断哪些叶子结点代表的是正确的结果。

回溯法解决八皇后问题

八皇后问题是以国际象棋为背景的问题：有八个皇后（可以当成八个棋子），如何在 8*8 的棋盘中放置八个皇后，使得任意两个皇后都不在同一条横线、纵线或者斜线上。

图 2 八皇后问题示例（#代表皇后）

八皇后问题是使用回溯法解决的典型案例。算法的解决思路是：

1. 从棋盘的第一行开始，从第一个位置开始，依次判断当前位置是否能够放置皇后，判断的依据为：同该行之前的所有行中皇后的所在位置进行比较，如果在同一列，或者在同一条斜线上（斜线有两条，为正方形的两个对角线），都不符合要求，继续检验后序的位置。
2. 如果该行所有位置都不符合要求，则回溯到前一行，改变皇后的位置，继续试探。
3. 如果试探到最后一行，所有皇后摆放完毕，则直接打印出 8*8 的棋盘。最后一定要记得将棋盘恢复原样，避免影响下一次摆放。

实现代码：

#include <stdio.h>

int Queenes[8] = {0}, Counts = 0;
int Check(int line, int list)
{
　　//遍历该行之前的所有行
　　for (int index=0; index<line; index++) 
　　{
　　　　//挨个取出前面行中皇后所在位置的列坐标
　　　　int data=Queenes[index];
　　　　//如果在同一列，该位置不能放
　　　　if (list == data) 
　　　　{
　　　　　　return 0;
　　　　}
　　　　//如果当前位置的斜上方有皇后，在一条斜线上，也不行
　　　　if ((index+data) == (line+list)) 
　　　　{
　　　　　　return 0;
　　　　}
　　　　//如果当前位置的斜下方有皇后，在一条斜线上，也不行
　　　　if ((index-data) == (line-list)) 
　　　　{
　　　　　　return 0;
　　　　}
　　}
　　//如果以上情况都不是，当前位置就可以放皇后


　　return 1;
}

//输出语句
void print()
{
　　for (int line = 0; line < 8; line++)
　　{
　　　　int list;
　　　　for (list = 0; list < Queenes[line]; list++)
　　　　　　printf("0");
　　　　printf("#");
　　　　for (list = Queenes[line] + 1; list < 8; list++)
　　　　{
　　　　　　printf("0");
　　　　}
　　　　printf("\n");
　　}
　　printf("================\n");
}

void eight_queen(int line)
{
　　//在数组中为0-7列
　　for (int list=0; list<8; list++) 
　　{
　　　　//对于固定的行列，检查是否和之前的皇后位置冲突
　　　　if (Check(line, list)) 
　　　　{
　　　　　　//不冲突，以行为下标的数组位置记录列数
　　　　　　Queenes[line] = list;
　　　　　　//如果最后一样也不冲突，证明为一个正确的摆法
　　　　　　if (line == 7) 
　　　　　　{
　　　　　　　　//统计摆法的Counts加1
　　　　　　　　Counts++;
　　　　　　　　//输出这个摆法
　　　　　　　　print();
　　　　　　　　//每次成功，都要将数组重归为0
　　　　　　　　Queenes[line] = 0;
　　　　　　　　return;
　　　　　　}
　　　　　　//继续判断下一样皇后的摆法，递归
　　　　　　eight_queen(line+1);
　　　　　　//不管成功失败，该位置都要重新归0，以便重复使用。
　　　　　　Queenes[line] = 0;
　　　　}
　　}
}

int main() 
{
　　//调用回溯函数，参数0表示从棋盘的第一行开始判断
　　eight_queen(0);
　　printf("摆放的方式有%d种", Counts);

　　return 0;
}

大家可以自己运行一下程序，查看运行结果，由于八皇后问题有92种摆法，这里不一一列举。