模运算：
取模：计算除以m的余数，叫做对m取模
同余：将a,b对m取模的结果相同，记为 a ≡ b (mod m)(例如： x % 3 = 2 ===> x ≡ 2(%3)，x余3等于2，和2同余)，即 a mod m == b mod m 如果 a ≡ b (mod m)，且c ≡ d (mod m)，则有 a+b ≡ c+d (mod m) a*b ≡ c*d (mod m)
线性同余方程：
a,b是整数，形如 ax ≡ b (mod n)，且x是未知整数的同余式称为一元线性同余方程。
定理：同余方程 ax ≡ b (mod n) 对于未知数 x 有解，当且仅当 b 是 gcd(a,n)的倍数。否则方程无解。且方程有解时，方程有 gcd(a,n)个解。
这里根据取余的概念可以得出，假如 a%n = b 的话，可以写出一个等式 a = n*t +b；
求解线性同余方程的方法：这里根据上面很容易得出下面两个等式：
ax = n*y1 + 余数
b = n*y2 + 余数
上面两式相减得 ax - b = n(y1-y2) ===> ax - b = ny ===> ax + ny = b; （这里的未知数x y不用管正负号，因为最后求解出来的结果x y自带正负号。）
那么根据这个等式采用扩展欧几里得算法就能够得出 x 的值。也就解出了线性同余方程。
例题：青蛙的约会
思路：因为线总长L，青蛙需要循环跳才有可能碰面。而循环跳的话那么它们的位置只能通过对L取余得到（可以对比钟表转圈理解）。根据题意，假设它们需要跳k次才能碰面，那么很容易得出这个同余组x+k*m ≡ y+k*n (mod L)。而根据上面的讲解我们也可以得到下面两个等式：
x + k*m = L*t1 + 余数
y + k*n = L*t2 + 余数
还是上面两式相减得到 x - y + (m-n)*k = L * t ===> (m-n)*k + L * t = y - x 这里已知的变量有 m n L y x，所以未知的变量为 k t
然后再对比扩展欧几里得算法求线性方程的等式 ax+by = m 所以可以得出 a = m - n，b = L，m = y - x。
然后根据上面写代码即可：
import java.util.Scanner;
// 求解同余方程的本质就是求线性方程
// 将求余方程转化为线性方程
public class 青蛙的约会 {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
long x = scanner.nextInt(); // 坐标
long y = scanner.nextInt(); // 坐标
long m = scanner.nextInt(); // A第一次跳
long n = scanner.nextInt(); // B第一次跳
long l = scanner.nextInt(); // 维度总长
long a = m-n;
long b = l;
m = y-x;
long d = 0;
try {
d = ExtGcd.linearEquation(a, b, m);
} catch (Exception e) {
System.out.println("Impossible");
} // 求解线性方程
long x0 = ExtGcd.x;
b /= d; // 约一下
b = Math.abs(b); // 有可能小于0
/*=========这里是AC的关键===========*/
x0 = (x0%b+b)%b; // 要求大于0的第一个解
System.out.println(x0);
}
// 私有的静态的内部类
private static class ExtGcd{
static long x,y;
public static long ext_gcd(long a,long b){
if (b==0) {
x = 1;
y = 0;
return a;
}
long res = ext_gcd(b, a%b);
long x1 = x;
x = y;
y = x1-a/b*y;
return res;
}
public static long linearEquation(long a,long b,long m) throws Exception{
long d = ext_gcd(a, b);
if(m%d!=0) throw new Exception("无解");
long n = m / d;
x *= n;
y *= n;
return d;
}
}
}结果：
